2-2ブラ・ケット記法

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    ブラ・ケット記法
    世界はよくもまぁ、 こんなくだらないシャレに付き合わされたものだ。
    波動関数はベクトルだ
     前回は「完全規格直交系」について学んだ。 今回はこれを波動関数に応用してやる話だ。
     範囲の制限はあるものの、あらゆる形の関数が完全規格直交系の係数の組で表されるというので、波動関数も同じようにベクトル表現してやろうではないか。
     ただ前回と少し事情が違うのは、波動関数は位置座標に対して複素数を返す関数であるという点である。 しかしこれは全く問題がない。 係数 a1, a2, ... が複素数であると考えてやればいいのである。 これだけで分かる人はいいのだが、中には納得したつもりになっているだけの人もいるだろうからちゃんと詳しく説明しておくことにしよう。
     波動関数を実数部分と虚数部分に分けて考えることにする。
     それぞれの部分は前回やったようにベクトルで表されるだろう。
     そしてそれを後で一緒にしてやればいいわけだ。
     これで疑う余地がなくなっただろう。
     つまり波動関数は無限次元の複素数ベクトルとして表現できるということだ。
     これをこの後に出てくる計算の都合上、縦一列のベクトルとして表してやったものを「ケット・ベクトル」と呼び、 という記号で表す。
      という記号の形がいかにも意味ありげだが、今はまだ気にしなくていい。 速度ベクトル( vx, vy, vz ) を象徴的に v という記号で表すのと全く同じことである。  なぜ「ケット・ベクトル」などというけったいな名前で呼ばれているかについては後で説明する。
     とにかくこいつは波動関数が姿を変えたものであって、量子力学的な状態を漠然と表す抽象的なベクトルである。 これを「状態ベクトル」と呼ぶこともあるが、量子力学における状態の全ては波動関数に表れているのだ、という思想が読み取れよう。
    ブラ・ベクトル
     以前に波動関数を使って粒子の存在確率を求めることをした。 その時の式が、
    であり、-∞≦x≦∞ の範囲で積分した結果は1にならなければならないのであった。 しかし今は束縛状態の粒子について考えているのであり、ある範囲外では波動関数の値は0である。 よって、その内側だけで積分した結果が1になればいいのである。
     上の式の積分内の波動関数を完全規格直交系の関数で展開した形に直して代入してやるとどんなことになるだろうか。
    であり、それの複素共役を取った は、それぞれの係数の複素共役を取ってやれば実現できるので、
    である。 正式には係数だけでなく直交系関数の方も複素共役を取るべきだが、今はこれらは実数関数であると考えているのでこれでいいとしておこう。  上の二つの式を積分式に代入してやって完全性の成り立つ範囲で積分してやるわけだ。 積分の中に膨大な組み合わせの積が出来るが、そのほとんどは関数の直交性によって消えてしまうだろう。
     それで結局は、
    という答えが残るのみである。
     さあ!  我々はこれと全く同じ結果をもっと簡単に得る方法を知っている! 行列計算の出番だ。
     先ほど、縦一列のベクトルをケットベクトルと呼んだが、その中身を全て複素共役の値に置き換えてやり、横一列に並べ替えたものを考える。
     こいつをケット・ベクトルの左側から掛けてやるのだ。 行列計算の規則は知っているな?
     これで先ほどと同じ結果が得られる!
     ここで使った横一列のベクトルを「ブラ・ベクトル」と呼び、 という記号で表す。
     ケットベクトルの複素共役を取って、転置行列にしたもの

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    ブラ・ケット記法
    世界はよくもまぁ、 こんなくだらないシャレに付き合わされたものだ。
    波動関数はベクトルだ
     前回は「完全規格直交系」について学んだ。 今回はこれを波動関数に応用してやる話だ。
     範囲の制限はあるものの、あらゆる形の関数が完全規格直交系の係数の組で表されるというので、波動関数も同じようにベクトル表現してやろうではないか。
     ただ前回と少し事情が違うのは、波動関数は位置座標に対して複素数を返す関数であるという点である。 しかしこれは全く問題がない。 係数 a1, a2, ... が複素数であると考えてやればいいのである。 これだけで分かる人はいいのだが、中には納得したつもりになっているだけの人もいるだろうからちゃんと詳しく説明しておくことにしよう。
     波動関数を実数部分と虚数部分に分けて考えることにする。
     それぞれの部分は前回やったようにベクトルで表されるだろう。
     そしてそれを後で一緒にしてやればいいわけだ。
     これで疑う余地がなくなっただろう。
     つまり波動関数は無限次元の複素数ベクトルとして表現できるということだ。
     これをこの後に出てくる計算の都..

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