連関資料 :: 微分
資料:12件
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3-1共変微分
- 共変微分 計算が丁寧なのは親切心からじゃない。 ただ自分が気になるからだ。 リーマン幾何学 これからリーマン幾何学の勉強を始めよう。 一般相対性理論に使うための、ごく初歩的なところだけを説明する予定だ。 これから話すことが全て理解できたとしてもリーマン幾何学を理解したと過信してはいけない。 （説明している私が理解していないのだから。） 我々は小学生の頃から平らなノートの上に三角形やら四角形やらを描いて図形やベクトルを勉強してきた。 これらは平らな空間を前提にしてきたものであり「ユークリッド幾何学」と呼ばれている。 しかしリーマン幾何学ではノートそのものが曲がっている場合を扱う。 それは座標の目盛りが曲がっていることとは関係ない。 だから単に座標を極座標で書き換えたようなものとは違う。 平面の上に描いた図形をデカルト座標以外の座標を使って表したからといって、その図形の性質そのものが変わってしまうわけではないからだ。 ではどんな座標を使えばそのような曲がった状況を表せるというのだろうか。 例えば、( r, θ, ) の３次元の極座標を考える。 ここでパラメータの一つである r が r = a で一定とでも置いてやれば、それは球面を表す事になる。 つまり、この面のすべての点が ( θ, ) という２つのパラメータのみで表される状況である。 何もかもがこの面上で起きるとき、・・・もう一つのパラメータ r の存在が一切出てこないとき、これは曲がった面での幾何学だと言える事になる。 曲がった面、曲がった空間を表すこと自体はこのようにそれほど難しいことではない。 大切なのは、その面の上でどんなことが成り立っているかを知ることである。 共変微分 しかししばらくは「ユークリッド」の平らな空間を基礎に置いて議論しよう。 曲がった空間の話が出てくるのはもっと後になる。 その時にはちゃんと宣言するので、いつの間にか曲がった空間の話に突入していた、なんてことになりはしないかと心配する必要はない。 デカルト座標 Xi で表した共変ベクトル Ai を極座標などの別の方法で表した座標系 xi に変換したものを ai と表すとすると、 という関係が成り立っている。 元に戻したければ、 という関係を使う。 これは第１部で学んだ事だ。 さて、ここで Ai が全空間で一定のベクトルだったとしよう。 静磁場や静電場のようなイメージだ。 これを Xi で微分してやると、変化がないのだから当然 となる。 同じことを別の座標系で行うとどうなるか。 となって０にはならない。 ベクトルは一定であるのに、それを測る座標の目盛りの方が場所によって変化するので、計算上はあたかも変化しているかのように見なされてしまうのである。 これは面倒だ。 ベクトルそのものは変化していないのだから、たとえ別の座標系で表されていようとも、そのことを知ることが出来るような手段が欲しい。 そこでどうすれば良いかと言うと、先ほどの結果を予め引いておいたものを使えばいいのである。 つまり、 という演算を定義する。 この新たに定義された演算を ai の「共変微分」と呼ぶ。 この名前の由来は今回の記事の後の方で説明する。 すると、Ai が定ベクトルである場合には、 であることが言える。 共変微分の別定義 先ほどの共変微分の定義の第２項目はごちゃごちゃしていて毎回書くのが面倒くさい。 そこで、次のように表す事にする。 つまり、 だということだ。 この Γ 記号を「クリストッフェ
- 定義 デカルト 空間 変化 方法 理解 幾何学 勉強 資格 学問
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微分演算子法
- 微分演算子法 定義 まず最初に、 をDと書いて演算子という。 例えばn回微分可能な関数をy＝y(x)とする。ここでDyはyを1回微分するということであり はyを2回微分するということである。 と書いたらyを積分することである。 を逆演算子という。 解法 定数係数線形微分方程式 は演算子を とおいて与式の特殊解をy1とおくと となり、 と変形できる。 ここでこの式を解く公式として 例題1 の特殊解を求める。 とおいて公式(1)を利用すると 例題2 の特殊解を求める。 とおくと となり公式(1)は使えない。 公式(2)を利用すると 例題3 の特殊解を求める。 公式(2)を利用すると オイラーの
- レポート 理工学 運算子 山辺 微分 積分 演習
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4-4汎関数微分
- 汎関数微分 とりあえずは無難な内容をこちらへまとめてみた。 実は変分法と同じ内容 ここでは「汎関数微分」を物理から離れて説明しようと思う。 前にも話したが、汎関数微分というのは、第 3 部の「ベルヌーイの問題提起」のところで説明したのと論理的には同じ内容である。 しかしそうは言われても、じっくり考えてみないとどこまでが同じなのかなかなか気付けないものだ。 普通の微分があらゆる分野のあらゆる場面に使われるように、汎関数微分も色んな場面で利用されている。 最速降下線問題に限って使うような話ではないわけだ。 特定の具体例に縛られて思考を狭めてしまうことが無いように、論理の要点だけをもう少し抽象的にまとめ直しておこうと思うのである。 抽象的にとは言っても、難し過ぎることにはならないだろうから安心して欲しい。 厳密な話をするつもりもないので、過度の期待はしないでもらいたい。 要するに私自身が何となく納得が行かず、もやもやしたものを感じ、それを晴らす為にあちこちで調べまくった結果をまとめておこうというわけである。 汎関数 では説明を始めよう。 ある関数 F(x) を使った次のような計算で決められる値 I があるとする。 ここで F は x の関数として表されているが、それが x で積分されている為、I はもう x の関数ではなくなっている。 これが単なる積分ではなく、定積分であることが大切である。 では I は何の関数かと言えば、関数 F の形を変更することで値が変わるのだから、関数 F(x) の関数だと言えないだろうか。 このような値 I を「汎関数」と呼ぶ。 汎関数は必ずしも積分で表されるものだとは限らないのだが、とりあえずこれが一番分かり易い例であるからこうしておこう。 I が F の汎関数であることを表すのに I [F] という記法が良く使われる。 普通の関数は ( ) の中に変数を書くが、汎関数の場合は [ ] の中に関数を示す記号を書くのである。 汎関数というのは、単に関数の中に関数が含まれているような、「合成関数」とはまるで意味が違うことが分かってもらえるだろうか。 大雑把に言えば、関数全体の形によって一つの値が決まるのが汎関数なのである。 いや、この表現には正確ではない部分があるのだが、どこがまずいかに気付く時が来るまでは、この考え方をしておけばいいと思う。 その方が本質部分をすっきり理解できそうだ。 例えば、こんな面白い見方がある。 現代数学というのは集合論のやり方で議論されることが多く、関数についても、集合を使ったちょっと変わったやり方で定義されていたりする。 つまり、通常の関数というのは、数値の集合の元の一つを、別の集合の元である一つの値へと対応させるルールであるという見方をするのである。 要するに、値の集合が二つあって、一方から他方への写像を与えるのが関数だと言うわけだ。 同様に、関数の集合と値の集合の二つを考え、前者から後者への写像が汎関数だという見方が出来る。 さらには、関数の集合から別の関数の集合へと対応させる写像もあり、これは作用素であるという具合に分類ができるらしい。 作用素というのは、物理では「演算子」と呼ばれており、量子力学で良く出てくるやつだ。 ああ、なるほど、私は数学の知識にはまるで疎いが、そういうことが言えている気がする。 汎関数と普通の関数の違いは、ただ変数の個数が無限か有限かというだけだという見方も出来る。 なぜなら、関数 F(x) に代入する x の値はどんな値でも無限にあ
- 全体公開 2007/12/26
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1-5微分法則を使う理由
- 微分法則を使う理由 説明できなかった部分をここで補う。 ２つの式から電場の形が決められるか？ 前のページでは、静電場の満たす２つの重要な式 が求まった。 既にマクスウェルの方程式の４つの式のうちの２つが出来上がろうとしていることにお気づきだろうか。 まだ電束密度 D についての解説をしていないが、 D = ε0E という関係があり、これを使うと初めの式は div D = ρ という簡単な式になる。 電束密度については後でまとめて説明するつもりだ。 また、もう一つの式も電磁誘導の関係式を追加すればマクスウェルの方程式の一つになるところまで来ている。 しかしその前に静電場についてもう少しはっきりさせておきたいことがある。 それは、果たしてこの２つの式で十分かということだ。 つまりここまでで求められた２つの式からちゃんと という静電場についての式が復元できるのかということだ。 もし復元できるのならば今後、 という表現を使うのをやめて、代わりにここで求めた２つの式を使うことにするのに何も問題はないわけだ。 なぜ直感的に分かりやすい以前の表現を捨ててまで、微分を使った新しい方の表現を使いたがるのかと言えば、ただかっこいいからという理由以外にもちゃんとした理由がある。 以前の式には、電場を求めようとする位置から電荷が存在する位置までの距離を表す r がそのままの形で含まれており、一応は「電場」による表現を使ってはいるけれども「遠距離間に直接働く力」というニュアンスが拭い切れていないのである。 その点、新しい表現にはそういうものが含まれていない。 求めたい電場は、そのすぐ傍の電場の大きさとその点に存在する電荷の密度のみで決まる。 つまり、「その場」のみの性質で全てが決まるのである。 日本語で「field」を「場」と訳したのはこのようなニュアンスがあったのだろう。 これからは、電場の大きさは電荷からの距離に応じて決まるという表現ではなく、各点の「場」の性質の積み重ねで全体が決まっているのだと考えるようにしたいわけだ。 果たしてここまでで求められた２つの表現にはその資格があるのだろうか？ 静電ポテンシャル まず rot E = 0 について考えよう。 これはもともと電場の一周積分が０になるという条件から導かれたものであった。 この状況は地面の高低差に例えることができる。 どのように地面の上を旅しようとも元の場所に戻ってくれば必ず初めと同じ高さにたどり着く、という状況に似たところがある。 電場をこのような例えを使って論じることが出来るように「静電ポテンシャル」というものを導入しよう。 この例えの中では地面の高さに相当する概念である。 電場はこの静電ポテンシャルの傾きに相当すると考える。 地面の場合、傾きを積分すると高さになるからである。 上空から見た位置座標 x, y によって高さ h が決まる時、その高さの関数 h ( x, y ) を微分して作ったベクトル は傾きの度合いと方向を表すが、これと同じ考えにより電場 E は と表されると考えることにする。 ここでマイナスがついている理由は電場の向きが電位の高い方から低い方へ向かっているというイメージで表したいからである。 ただ微分しただけではベクトルは高い方を指してしまうことになるだろう。 ∇を使って 表せばもっと簡単に と書ける。 ここで電位という言葉を使ったが、静電ポテンシャルの「高さ」を電位という言葉で表現する。 そしてその「標高差」に相当する概念を「電位差」
- 全体公開 2007/12/26
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3-4テンソルの共変微分
- テンソルの共変微分 まとめてみると大した事ない話だ。 概要説明 測地線についての話が一通り終わった。 この勢いに乗って次は重力場の方程式の核心部分を一気に攻め落としたいところだが、そのための道具がまだ足りない。 すぐに必要になるわけではないのだがここまでの知識ですでに説明できそうなことは今の内に話しておこう。 その方が後で慌てなくて済む。 今回学ぶ事を大まかに説明しておこう。 高校では積の微分公式を学んだ。 共変微分についても同じような公式を作る事ができるだろうか。 すなわち、ベクトルの積の共変微分の公式である。 ベクトルの積というのはテンソルの変換性を持つのだったから、これを元にして「テンソルの共変微分」というものを考え出す事も出来そうだ。 チャレンジしてみよう。 積の共変微分 まずは高校数学の復習から始める。 積の微分の公式は次のようなものである。 受験では公式暗記と計算重視だから、この公式が成り立っている理由を把握している高校生の割合はそれほど多くはないかも知れない。 微分の定義に立ち返れば、 と導く事ができる。 高校の時はかなり奇抜なテクニックに思えたものだ
- 全体公開 2007/12/26
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1-4状態方程式の微分形
- 状態方程式の微分形 最小限必要な偏微分の知識 全微分形式 理想気体の圧力、体積、温度を結びつける式については前に p V = n R T であるとした。 つまり p, V, T の内の２つの量が決まれば、残りの１つは自動的に決まってしまうということだ。 そこで、体積 V は温度 T と圧力 p の関数 V ( T, p ) であると考えて、次のような式を作ることが出来る。 なぜこのような表現が出来るかについてはきちんと説明しておこう。 軽々しく納得していいところではない。 ・・・とか言いつつも、解析力学のところでやった 以前の説明 はいい加減なものだったが。 温度と圧力がわずかに変化することで、体積がわずかに変化したとする。 その変化は次のように書ける。 これを変形してやれば、 と書けるが、ΔT と Δp について無限小の極限を考えれば、分数で表した部分は微分の定義式そのものである。 ただし高校で習う１変数のみの微分とは少しだけ違っていて、初めの項の中の分数の部分は p の値を固定したままでの T による微分を表しており、２項目の分数の部分は T の値を固定したままでの p による微分になっている。 このように他の変数を固定して行う微分を、通常の微分と区別して「偏微分」と呼び、記号も d の代わりに ∂ を使って区別する。 計算自体は全く難しくない。 考えている以外の変数を定数と見なして微分すればいいだけのことだ。 偏微分を書き表すのに、例えば、 と書いた場合、これは変数 x, y を固定して z で微分することを意味するのだが、もっと簡略化して、 のように固定した変数を右下に書いて表すことがある。 変数が分かっている場合には、右下の変数名さえ省略するし、そうする方が普通なのだが、熱力学ではどの変数を一定に保ったまま状態を変化させるかというところが重要なので、忘れないようにメモ代わりに書いておく習慣になっている。 それで先ほどのような表現が出来ることになるわけだ。 もう一度書いておこう。 ・・・ (1) このような表現を「完全微分」あるいは「全微分」と呼ぶ。 もちろん圧力 p や温度 T についてもそれぞれ p( V, T ) や T( V, p ) であると考えることが出来て、同じように全微分形式で書くことが出来る。 ・・・ (2) ・・・ (3) ３通りの表現が出てきたが、どれを使っても本質的には同じ式である。 その時々に応じて一番便利だと思うものを使うことになる。 相関係数 色々な気体の性質の違いを比較するために、実験で p, V, T の間の関係を調べ、幾つかの相関係数として表すことが行われる。 (1) 式が便利な点は、式の中で使われている偏微分係数が、よく使われる相関係数の定義に近い形になっていることである。 例えば、(1) 式の第１項目の偏微分は圧力を一定に保ったまま温度を変化させた時の体積変化を表しているが、これを体積で割ったものは「定圧膨張率」あるいは「熱膨張率」として良く使われる値である。 また第２項目の偏微分を体積で割ったものにマイナスをつけたものは「等温圧縮率」として良く使われる値である。 マイナスが付くだけで難しく見えてしまうが、このマイナスは大した理由ではない。 圧力が増せば体積は減るのでこの偏微分の値は常にマイナスになってしまう。 係数が常にマイナスになるのはかっこ悪いのでそれを防ぐために付けてあるだけだ。 これらの係数を使って (1) 式を
- 全体公開 2007/12/26
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1-4微分演算子の座標変換
- 微分演算子の座標変換 計算は面倒だが理屈は簡単。 偏微分の変換 偏微分を含んだ式の座標変換というのは物理でよく使う。 この計算は微分演算子の変換の方法さえ分かっていればまるで問題ない。 例えばデカルト座標から極座標へ変換するときの偏微分の変換式は、 となるのであるが、なぜそうなるのかというところまで理解できぬまま、そういうものなのだとごまかしながら公式集を頼りにしている人が結構いたりする。 学生時分の私がそうであったし、最近、読者の方からもこれについての質問を受けたので今回の説明には需要があるに違いないと判断する。 以下ではこのような変換の導き方と、なぜそのように書けるのかという考え方を説明する。 式だけ示されても困る人もいるだろうから、ついでに使い方も説明しておこう。 考え方 ある関数 A を x で偏微分しようと考える。 つまり記号で書けば、∂A/∂x を計算しようということである。 ところがそこでふと気付く。 何と、A は x の関数ではなくて、極座標 ( r, θ, φ ) で表された関数だった！ A ( r, θ, φ ) こんなときにはどうしよう。 あきらめるか？ いや、ちゃんと方法がある。 そもそも A を x で偏微分するというのは x が微小変化したときの A の微小変化を x の微小変化で割るということなのであるから、例えば、r が微小変化したときの A の微小変化の割合と、 x だけ微小変化したときの r の微小変化の割合をかけてやれば、 x が微小変化したときの A の微小変化を間接的に求めたことになるのではないだろうか？ 言葉にすると面倒な表現だが、数式で表すとシンプルであって、 ということである。 まあ、微分なんていうのは結局のところ、微小量同士の割り算に過ぎないということだ。 その証拠に上の式を約分すれば (∂A/∂x) になってしまう。 しかしこれだけでは正しくないので気を付けよう。 まだ考えが抜けている部分がある。 極座標の場合、x が変化すれば r だけでなく θ、φ も変化するのである。 すると、それに釣られて A はさらに変化することになる。 だから x が変化したときの A の変化の割合を知りたければ、これらの影響も足し合わせなければならない。 つまり、次のようになる。 さて、ここまで関数 A を使って説明してきたが、この話は別に A でなくともどんな関数でもいいわけで、この際、書くのを省いてしまうことにしよう。 ただし、A を省くと (∂/∂r) などは「微分演算子」になり、そのすぐ後に来るものを微分しなさいという意味になってしまうので、そのままの順序だと都合が悪い。 例えば第１項目の A を省いてそのままの順序にしておくと、この後に来る関数に (∂r/∂x) を掛けてからその全体を r で微分しなさいという意味にとられてしまう。 それで式の意味を誤解されないように各項内の順序を変えておいた。 テクニック さあ、あとは、(∂r/∂x), (∂θ/∂x), (∂φ/∂x) の３つを計算すればいいだけだ。 そのために、( x , y , z ) と ( r , θ , φ ) の間の関係式が必要になる。 しかし、次の関係を使って微分を計算するのは少々面倒である。 これで計算できないこともない。 面倒だが逆関数の微分を使ってやればいいだけの話だ。 しかし別の方法もある。 というすっきりした関係式を使う方法だ。 どちらの方法が簡単かは場合によって異なる。 ここ
- 全体公開 2007/12/26
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