ヒルベルト空間

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    ヒルベルト空間
    知らなくてもいいのだが、知らないと恥ずかしい。
    知らないと不安じゃないか
     量子力学をやっていると「ヒルベルト空間」なんて言葉によく出くわす。 実は学ぶ上でどうしても知っていなければいけないという言葉ではない。 なぜならこれは数学用語だからだ。
     しかし、知らないというのは立場が弱い。  学んだばかりの知識をひけらかす友人たちや、生徒を買い被ったフリをして楽しんでいる教授たちの口から「波動関数とはヒルベルト空間内で定義されるベクトルだ」なんて言葉が飛び出してくると、「それは一体何を意味するんだ? 知ってなきゃいけないのか?」と不安にさせられてしまう。
     もしこんな事態に遭遇しても、  「ああ、そうだね。 ついでに言えば、それは『無限次元複素ヒルベルト空間』のことだよね。」 と軽くかわすことが出来れば時間を無駄にしないで済む。
    ベクトル空間
     「ヒルベルト空間」の定義は一言で言えなくもないが、まぁ順番に行こう。
     とりあえず、ベクトルが定義できる空間を考える。 ここで我々が想像しやすい3次元空間を思い浮かべるかも知れないが、空間と言っても数学的な意味での空間なので気をつけよう。 つまり、様々なベクトルの一つ一つが要素であるような集合のことを言っているのだ。 ここで言うベクトルは何次元だって構わない。
     そして、このベクトルの間には加算が定義できて、交換法則、結合法則が成り立ち、スカラー倍の計算が定義され、零元、逆元が存在するとする。 まぁ、普段当たり前だと思っている計算がちゃんと出来るということだ。
     こういうのを「ベクトル空間」という。 まだヒルベルト空間ではない。
     座標原点からさまざまな方向に伸びるさまざまな長さのベクトルが定義できるという映像を想像するといかにも空間を張っているみたいだろう。 ここへ来て数学による抽象的な表現と我々の具体的な「空間」のイメージが重なるわけだ。
    内積空間・ノルム空間
     さらにベクトルとベクトルの間に内積という演算が定義できるとしよう。 ここで高校で学ぶ内積を思い浮かべるかも知れないが、まぁそのイメージでいいだろう。 数学的には幾何学でやった内積と同じものをその計算式だけで定義してやって、これを内積とする、という回りくどい定義の仕方をする。 それが出来る空間を「内積空間」あるいは「プレ・ヒルベルト空間」と呼ぶ。
     内積が定義できると、直交とか、ノルムとかいう概念が定義できるようになる。  例えば2つのベクトルの内積が0になる時を直交という。 これは幾何学のイメージからそう呼んでいるだけだ。  そして、ノルムというのはベクトルの自分自身との内積の平方根を取ったものである。 すなわち、ベクトルの長さのようなものだ。  ではなぜわざわざ「ノルム」と呼んで「ベクトルの長さ」と言わないのかというと、数学では全てを抽象的な概念でまとめて扱う。 この手続きがいつも私たちが知っている「長さ」を意味するとは限らないのである。
     ところで先ほど、「内積が定義できるとノルムが定義できる」と書いたが、実は内積が定義できなくてもノルムの定義自体は出来てしまう。  ここでは定義は書かないが、そういう空間を「ノルム空間」と呼ぶ。
    完備性
     さて「ヒルベルト空間」はまだなのかと待っていることと思うが、ここまでの話にもう一つ条件を加えるだけでいい。
    内積空間が完備性を持つとき、「ヒルベルト空間」という。 ノルム空間が完備性を持つとき、「バナッハ空間」という。
     バナッハ空間については今回の話とは関係ないが、まぁ、

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    ヒルベルト空間
    知らなくてもいいのだが、知らないと恥ずかしい。
    知らないと不安じゃないか
     量子力学をやっていると「ヒルベルト空間」なんて言葉によく出くわす。 実は学ぶ上でどうしても知っていなければいけないという言葉ではない。 なぜならこれは数学用語だからだ。
     しかし、知らないというのは立場が弱い。  学んだばかりの知識をひけらかす友人たちや、生徒を買い被ったフリをして楽しんでいる教授たちの口から「波動関数とはヒルベルト空間内で定義されるベクトルだ」なんて言葉が飛び出してくると、「それは一体何を意味するんだ? 知ってなきゃいけないのか?」と不安にさせられてしまう。
     もしこんな事態に遭遇しても、  「ああ、そうだね。 ついでに言えば、それは『無限次元複素ヒルベルト空間』のことだよね。」 と軽くかわすことが出来れば時間を無駄にしないで済む。
    ベクトル空間
     「ヒルベルト空間」の定義は一言で言えなくもないが、まぁ順番に行こう。
     とりあえず、ベクトルが定義できる空間を考える。 ここで我々が想像しやすい3次元空間を思い浮かべるかも知れないが、空間と言っても数学的な意味での空間なので気..

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