6-1ラグランジュの未定乗数法

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    ラグランジュの未定乗数法
    長い間、難しいものだと思い込んでいた・・・。
    基本の確認
     多変数関数 f ( x, y, z ) が極値を取る条件を求めたいとする。 関数 f の微分は、
    であるが、どんな微小変化 ( dx, dy, dz ) に対してもこれが0になることが必要である。 つまり、
    となることが取敢えずの極値の条件である。 残念ながらこの条件から導かれる点 ( x, y, z ) が極小か極大か、ただの停留点か、あるいは鞍点であるかということは分からない。
     鞍点というのは、例えば2変数関数をグラフにしたときの図形が馬の鞍のようになる場合の話で、ある方向には極小であるが、ある方向には極大である、という状況になる点である。 山の尾根沿いの道に例えてもいいかも知れない。 道の左右はどちらを向いても下り坂だが、前後は両方とも上り坂ということがある。 そういう点だ。
     その他にも、現在点は水平だが、前には上り坂、後ろには下り坂という状況だってある。 上に書いた条件だけではそこまでの判定はできないが、とりあえず、極値になりそうな候補をすべて導き出すことならば出来る。
    条件付極値判定
     ではこれに対して、二つほどの束縛条件が加わったらどうなるだろう。
     これでは dx, dy, dz はそれぞれ独立に、自由には動かせなくなってしまう。 dx だけ変化させて df が変化するかどうかを見たくても、同時に dy や dz が動いてしまうのだ。 そんな状況で df が 0 になるところを探さなくてはならない。 いやいや、df が 0 になるところを探せというだけなら前と同じ点が答えだろう。
     問題はもう少し複雑だ。 求まった地点は関数 g と関数 h の2つの束縛条件を満たす点でなければならないというのが第一に求められている条件だ。
     地形に例えよう。 ある範囲の土地の中で無条件に極値を探せ、と言われたら、山の頂上や谷底を見つければいい。 しかし、束縛条件はその中で一本の調査コースを指定されるようなものだ。 そのコースの中で一番高かった地点、低かった地点、平らだった地点を探す必要がある。 そのコース以外の場所の起伏は一切関係ない。 頂上や谷底も関係ない。 ただ指定されたコース上の上下変化だけが問題になる。
     こういう問題をあっと言う間に解決するテクニックが、「ラグランジュの未定乗数法」だ。
    ラグランジュの方法
     やり方はめちゃくちゃ簡単だ。  新しい変数 α, β を用意して、次のような関数を作る。
     この変数 α, β が「ラグランジュの未定乗数」と呼ばれるものだ。 そして、次の条件式を解く。
     式が5つあるので変数 ( x, y, z, α, β ) の組み合わせが求まるだろう。 その内の、( x, y, z ) の値がなぜか、知りたかった答えになっている。 以上だ。
     ちょっと補足しておこう。 上の5つの条件式を計算してやると、
    である。 教科書によってはこちらの書き方をしてあるものもあって、ちょっと複雑な手続きが要るように見えるが、全く同じことを言っているだけだ。
     ここでは3変数の関数に対して2つの束縛条件を付けたが、2変数以上の関数になら全く同じようにしてこのテクニックが使えて、束縛条件の数も、変数の数より少なければ幾つでもいい。
    少し変わったやり方
     上と同じ内容なのだが、ちょっと変わった応用の仕方がある。 関数 f ( x, y, z ) の全微分 df と束縛条件 g ( x, y, z ), h ( x, y

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    ラグランジュの未定乗数法
    長い間、難しいものだと思い込んでいた・・・。
    基本の確認
     多変数関数 f ( x, y, z ) が極値を取る条件を求めたいとする。 関数 f の微分は、
    であるが、どんな微小変化 ( dx, dy, dz ) に対してもこれが0になることが必要である。 つまり、
    となることが取敢えずの極値の条件である。 残念ながらこの条件から導かれる点 ( x, y, z ) が極小か極大か、ただの停留点か、あるいは鞍点であるかということは分からない。
     鞍点というのは、例えば2変数関数をグラフにしたときの図形が馬の鞍のようになる場合の話で、ある方向には極小であるが、ある方向には極大である、という状況になる点である。 山の尾根沿いの道に例えてもいいかも知れない。 道の左右はどちらを向いても下り坂だが、前後は両方とも上り坂ということがある。 そういう点だ。
     その他にも、現在点は水平だが、前には上り坂、後ろには下り坂という状況だってある。 上に書いた条件だけではそこまでの判定はできないが、とりあえず、極値になりそうな候補をすべて導き出すことならば出来る。
    条件付極値..

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