明星大学_代数学1(PF2010)_1・2単位_合格レポート

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    1単位目
    【課題】
    1.Gを群とする。任意のx,y∈G に対して(xy)^2=x^2 y^2 が成り立つならば,Gは可換群であることを示せ。ただし,群の公理のみを使って示すこと。
    2.G=R-⟨-1⟩ とし,演算a*b=a+b+ab を考える。ただし,右辺は実数における普通の和と積である。
    (1)集合Gはこの演算で閉じていることを示せ。すなわち,a,b∈G ならa*b∈G となることを示せ。
    (2)(G,*) は群になることを示せ。
    (3)3*x*2=5 を満たすx∈G を求めよ。
    3.正三角形の二面体群D_6 の自明でない部分群をすべて求めよ。
    2単位目
    【課題】
    1.σ=(■(1&2&3@↓&↓&↓@5&3&1)     ■(4&5&6@↓&↓&↓@2&4&7)    ■(7@↓@6)  ) は偶置換か奇置換かを調べよ。
    2.二面体群D10の共役類を求めよ。
    3.整数nに対して,φ(n)=i^n と定める。ただし,iは虚数単位。
    (1)φ は加法群Zから乗法群Cxへの準同型写像であることを示せ。
    (2)φ の像と核を求めよ。
    (3)φ の準同型定理を適用するとどのようなことが分かるか。

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    代 数 学 1 ( P F 2 0 1 0 ) 2 0 1 5 年 度 ~
    1 単 位 目
    【 課 題 】
    1 . G を 群 と す る 。 任 意 の .,. ∈. に 対 し て ... .. = .
    ..
    . が 成 り
    立 つ な ら ば , G は 可 換 群 で あ る こ と を 示 せ 。 た だ し , 群
    の 公 理 の み を 使 っ て 示 す こ と 。
    2 . . = . −〈−1〉 と し , 演 算 . ∗. = . + . + .. を 考 え る 。 た だ し , 右
    辺 は 実 数 に お け る 普 通 の 和 と 積 で あ る 。
    ( 1 ) 集 合 G は こ の 演 算 で 閉 じ て い る こ と を 示 せ 。 す な
    わ ち , .,. ∈. な ら . ∗. ∈. と な る こ と を 示 せ 。
    ( 2 ) ..,∗. は 群 に な る こ と を 示 せ 。
    ( 3 ) 3 ∗. ∗ 2 = 5 を 満 た す . ∈. を 求 め よ 。
    3 . 正 三 角 形 の 二 面 体 群 .. の 自 明..

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