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2017年度　S0639 　幾何学概論　リポート 設題1【A評価】設題2【A評価】 一発合格しました。 先生からのコメント 「大変よくできています。これからも頑張ってください。」 この科目は再提出が一番多い科目だと思います[304]
設題１ ★【A評価をとるためのアドバイス】★ これでもかというくらいに丁寧に説明をしないと、不合格になります。 最後の回答が正解であっても、回答までのプロセスがほんの少しでも間違っていると容赦なく×にされます。 また、丁寧に書いていても、その説明内容に間違いがあろうもんならこれも×となり、再提出になります。 スクーリングで出会った方に聞きましたが、一発でA評価だった人は、私の周りにはいませんでした。 再提出が7人、B評価が1人でした。 【まとめ】 ・回答までのプロセスは確実に書きましょう。 ・簡単な計算でも、略さない方がいいでしょう。 ・確実に合っていることのみ書きましょう。 ・微妙な回答は避けましょう。 ・相手は数学のプロです、上げ足を取るような採点をします。 １.次の問いに答えよ （１）命題（論理式）p,q,rについて となることを真偽表を用いて証明せよ。 【回答】 真偽表を以下に示す。 p q r p∨q (p∨q)∨r q∨r p∨(q∨r) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 ..]]> Sat, 25 Apr 2015 01:07:10 +0900

こちらはS0639　幾何学概論の2014年度のレポート課題の解答案です。 今年度からテキストが新しくなったため、経過措置として今年度の11月提出までは2014年の課題でレポートを提出することができるようです。 レポート作成にお役立ていただ[324]
S0639　幾何学概論 これは2014年度のレポート課題の解答案です。 今年度からテキストが新しくなったため、経過措置として今年度の11月提出までは2014年の課題でレポートを提出することができるようです。 参考文献 『論理・集合と位相空間入門』　佛教大学 １．集合Xから集合Yへの写像をfとし、集合Yから集合Zへの写像をgとする。つぎのことを証明せよ。 (1)fおよびgが単射ならばfとgの合成g∘fも単射である。 (解) x1,x2∈Xでx1≠x2とする。fは単射であるからf(x1)≠f(x2)である。 また、gは単射だからg(f(x1))≠g(f(x2))である。 ゆえに、g∘fは単射である。 (2)fおよびgが全射ならばfとgの合成ｇ∘ｆも全射である。 (解) 任意のz∈Zとする。gが全射だからg(y)=zとなるy∈Yが存在する。 このｙ∈Yに対してfが全射だからf(x)=yとなるｘ∈Xが存在する。 すると、(g∘f)(x)=g(f(x))=g(y)=zとなりg∘fは全射である。 (3)fおよびgが全単射ならばfとgの合成g∘fも全単射である。 (解) (1)よりfおよびgは単射だ..]]> Fri, 05 Jul 2013 16:11:05 +0900

佛教大学の幾何学概論(最新2013年版)の第2設題のレポートになります。 【B評価】：良く勉強されてます、のコメント頂いてます。 本年度より設題1,2,4の問題が変更されています。 ご参考いただき、皆さまのお役に立てば何よりです。[313]
＜2013年度版＞ 第2設題 つぎの問いに答えよ。 (1) 実数列 が に収束しているとする。このとき、実数列 がコーシー列であることを、定義にもとづき証明せよ。 　[証明] 　　実数列 が に収束しているとする。任意の に対して自然数 ならば、 となる自然数 が存在する。 　　すると、自然数 ならば、 　　　 　　よって実数列 が に収束しているときコーシー列の定義を満たすので、実数列 はコーシー列である。 　(証明終り) (2) 実数列 が に収束し、実数列 が に収束しているとする。このとき実数列 が に収束することを定義にもとづき証明せよ。 　[証明] 　　実数列 が に収束しているとする。任意の に対して、 ならば、 となる自然数 が存在する。同様に、実数列 が に収束し、 ならば となる が存在する。 　　ここで、 とおくと、 ならば、 　　　 以上より、実数列 は に収束することが示せた。 　(証明終り) 2. 距離空間 とする。つぎの問いに答えよ。 (1) 部分集合 とする。 が の触点であることの定義を(近傍の概念を用いて)述べよ。 　 　[定義] 　　 の部分集合..]]> Thu, 04 Jul 2013 09:54:16 +0900

佛教大学の幾何学概論(最新2013年版)の第1設題のレポートになります。 【Ｂ評価】：良く出来ています、のコメント頂いてます。 設題3と設題4が昨年より問題変更されていますが、どちらも良い評価頂きました。 ご参考いただき、皆さまのお役に立て[336]
＜2013年度版＞ 第1設題 集合Xから集合Yへの写像を とし、集合Yから集合Zへの写像を とする。つぎのことを証明せよ。 および が単射ならば と の合成 も単射である。 [証明] 写像 ：X→Yが単射とする。 Xで、 ならば、 である。次に、 Yのとき、 とする。写像 ：Y→Zが単射とする。 ならば、 　　 　 ならば、 より、 および が単射ならば も単射である。　 (証明終り) および が全射ならば と の合成 も全射である。 [証明] 任意の とする。 が全射ならば、 となる が存在する。 次に、 が全射ならば、 となる が存在する。すると、 　となる。 　写像 ：X→Zについても全射である。 　よって、 および が全射ならば も全射である。 (証明終り) (3) でかつ ならば、 である。 　[証明] 　　 なので、単射 ：X→Yとなる写像 が存在する。 なので、単射 ：Y→Zとなる写像 が存在する。いま は、単射である と の合成なので、(1)より は単射である。 　　このとき、 ：X→Zは単射であり、 。 　よって、 でかつ ならば、 である。 　(証明終り) 2...]]> Thu, 31 Jan 2013 00:34:55 +0900

《追記》　～2013年度シラバスとの比較～ 数学科目4科目について、2013年度のレポート設題の8割程度は、2012年度のレポート設題と一致しておりますので、2012年度レポートは有用な資料であると考えております。 なお、科目別の2013年[312]
◆本リポートについて ・「2012年度の幾何学概論(S0639)の第2設題」に対する解答例です。教科書や参考書を駆使して作成しました。 ・最初に問題一覧を記載してから、その後にそれぞれの問題に対して解答しております。 ・解答は太字で表記しております。(ただし、証明は除く。) 問題 実数列 について、次の問いに答えよ。 実数列 がxに収束することの定義を述べよ。 実数列 がコーシー列であることの定義を述べよ。 実数列 がxに収束するとき、 がコーシー列であることを証明せよ。 位相空間(X, とする。つぎのことがらを証明せよ。 部分集合A,Bについて、 となる。 自然数の集合 を添字集合とするXの部分集合族{ }を考える。つぎの問いに答えよ。 (ⅰ) とおくとき、∪{ }と とは 等しいかどうかを述べ、証明せよ。 (ⅱ) 一般に∪{ } となることを証明せよ。 fを位相空間(X, から位相空間 への連続写像、gを位相空間 から位相空間 への連続写像とする。次のことがらを証明せよ。ただし、開集合の逆像が開集合となるとき、連続写像という。 A Yを閉集合とするとき、 が閉集合となる。 A Yと..]]> Sat, 02 Feb 2013 01:54:42 +0900

｟追記｠ 税抜3,000円→1,500円に値下げしました(2024/3/1) 2012年度に実施された科目最終試験問題を基に、「S0636_代数学概論」「S0639_幾何学概論」「S0642_解析学概論」「S0645_確率論」の解答[252]
◆目次 2012年度に実施された科目最終試験問題を基に、以下4科目に対して解答例を作成しました。 なお、解答は太字で表記しております。(ただし、証明は除く。) ①S0636_代数学概論 P2～17 　5パターンの問題＆解答を作成しました。 ②S0639_幾何学概論 P18～30 　5パターンの問題＆解答を作成しました。 ③S0642_解析学概論 P31～42 　5パターンの問題＆解答を作成しました。 ④S0645_確率論 P43～49 　5パターンの問題と1パターンの解答を作成しました。 解答が1パターンである理由は、各パターンで数値が異なるだけであるためです。 論述問題(大問5)に関しては4パターン作成してあります。 ◆参考文献・Webページ 『線型代数学入門』、丹後弘司 著、佛教大学 『線形代数と整数入門』、渡辺豊 著、佛教大学 『解析学のための微分積分入門』、長田尚 著、佛教大学 『確率論・統計学入門』、篠田正人 編、佛教大学 『論証・集合・位相入門』、奥山晃弘 著、佛教大学 『論証・集合と位相空間入門』、栗山憲 著、共立出版 S0636_代数学概論 【タイプ1（問題）】 2012年7月度試験　午後(33番) １．次の行列 の余因子行列を求め逆行列を求めよ。 ２．次の行列式を計算せよ。 ３．次の行列の固有多項式をもとめ全ての固有値を求めよ。 また、各固有値に対する固有ベクトルを一つづつ求めよ。 ４．Vをベクトル空間としてa,b,c,dをVのベクトルとする。 ＜a,b,c＞をa,b,cで生成されたVのベクトル空間とする。 a,b,cが線形独立で＜a,b,c＞ dとする。 このときa,b,c,dが線形独立であるか否かを、線形独立の定義に従って調べよ。 【タイプ2（問題）】 2012年5月度試験　午後(31番) １．次の行列 の余因子行列を求め逆行列を求めよ。 ２．次の行列式を計算せよ。 ３．次の行列の固有多項式をもとめ全ての固有値を求めよ。 また、各固有値に対する固有ベクトルを一つづつ求めよ。 ※ 2012年7月度試験　午後(33番)の問題３と全く同じです。 ４．a= , b= , c= とする。 a,b,cが線形独立であるか否かを、線形独立の定義を用いて調べよ。 【タイプ3（問題）】 2012年4月度試験　午前(27番) １．３次正方行列 A= について、次..]]> Sat, 02 Feb 2013 01:54:36 +0900

《追記》 2012年度に実施された科目最終試験問題を基に、「S0636_代数学概論」「S0639_幾何学概論」「S0642_解析学概論」「S0645_確率論」の解答例を作成しました。 1科目につき、基本的に5種類作成しております。 以[288]
【問題】 2012年10月度試験(40番) １．2つの命題p,qについて、命題 は真であることを真偽表を用いて示せ。 　　但し、 pはpの否定を表す。 ２．{0,1}の無限列全体の集合をXとする。すなわち、集合族 とおくとき、 とする。 を証明せよ。 ３．ユークリッド平面 の部分集合族{ }ただし、 について、つぎの問いに答えよ。 (1) を求めよ。 (2)b を求めよ。 2012年11月度試験(41番) １．3つの命題p,q,rについて、つぎの等式を真偽表を用いて説明せよ。 ２．集合Xの部分集合全体からなる集合を (X)とする。|X|<| (X)|を証明せよ。 ３．ユークリッド平面 の部分集合族{ }ただし、 について、つぎの問いに答えよ。 (1) を求めよ。 (2)b を求めよ。 2012年11月度試験(42番) １．集合 とおく。つぎの問いに答えよ。 　　(1) を求め、理由を述べよ。 　　(2) を求め、理由を述べよ。 ２．実数列 がxに収束している。このとき、 がコーシー列であることを証明せよ。 ３．1次元ユークリッド空間Rについて、つぎの集合を求めよ。証明をつけること。 (1)区間A= の閉包 と内部i(A) (2)B= の閉包 と内部i(B) 2012年12月度試験(43番) １．集合 とおく。つぎの問いに答えよ。 　　(1) を求め、理由を述べよ。 　　(2) を求め、理由を述べよ。 ２．実数列 がxに収束している。このとき、 がコーシー列であることを証明せよ。 ３．集合 とするとき、つぎの問いにその理由をつけて答えよ。 　　(1) はX上の位相になるか。 　　(2) はX上の位相になるか。 2012年12月度試験(44番) １．集合 とおく。つぎの問いに答えよ。 　　(1) を求め、理由を述べよ。 　　(2) を求め、理由を述べよ。 ２．正の有理数全体の集合を とおく。 が可算集合であることを証明せよ。 ３．位相空間X,Yとする。XからYへの写像をfとする。次の条件(ⅰ)(ⅱ)が同値であることを証明せよ。(ⅰ)fは連続写像である。 (ⅱ)A YをYの任意の閉集合とするとき、 は閉集合である。 　　但し、任意の開集合の逆像が開集合となるとき、連続写像という。 【解答】 2012年10月度試験(40番) １．2つの命題p,qについて、命題 は真で..]]> Thu, 31 Jan 2013 00:41:29 +0900

《追記》 ・税抜3,000円→1,500円に値下げしました(2024/3/1) ・数学科目4科目について、2013年度のレポート設題の8割程度は、2012年度のレポート設題と一致しておりますので、2012年度レポートは有用な資料であると[284]
◆目次 2012年度のシラバスを元に、以下4科目、計8設題(各科目2設題ずつ)の解答例を作成しました。 各科目の最初に、問題一覧を記載し、その後にそれぞれの問題に対して解答しております。 なお、解答は太字で表記しております。(ただし、証明は除く。) ①S0636_代数学概論 P2～12 ②S0639_幾何学概論 P13～22 ③S0639_解析学概論 P23～33 ④S0645_確率論 P34～40 ◆ワンポイントアドバイス(かなり主観ですが…) ・「科目自体は簡単か？」「採点者が厳しくないか？」「量は多くないか？」という軸で見ていくと、「解析学概論→確率論→代数学概論→幾何学概論」という順番で進めていくのが良いと思います。 ・正しい理解をするために、教科書や参考書で定義、定理、解法を確認することをお奨めします。それが、科目最終試験突破に繋がると思います。 ・レポートに疑問点を記載して提出してもいいと思います。先生は意外と疑問に答えてくれます。 ◆参考文献・Webページ 『線型代数学入門』、丹後弘司 著、佛教大学 『線形代数と整数入門』、渡辺豊 著、佛教大学 『解析学のための微分積分入門』、長田尚 著、佛教大学 『確率論・統計学入門』、篠田正人 編、佛教大学 『論証・集合・位相入門』、奥山晃弘 著、佛教大学 『論証・集合と位相空間入門』、栗山憲 著、共立出版 S0636_代数学概論 問題（第1設題） 行列式 を計算せよ。途中計算を残すこと。 行列A= について次に答えよ。 Aの行列式を求めよ。 Aが逆行列を持つための条件を求めよ。 行列A= の固有多項式を求め、固有値を全て求めよ。 また、各々の固有値について固有ベクトルを一つずつ求めよ。 途中計算を残すこと。 Vをベクトル空間としてa1,a2,a3,a4,bをVのベクトルとする。 <a1,a2,a3,a4>をa1,a2,a3,a4で生成されたVの部分空間とする。 a1,a2,a3,a4が線形独立で<a1,a2,a3,a4> bとする。 このときa1,a2,a3,a4,bが線形独立であることを、線形独立の定義に従って示せ。 問題（第2設題） 行列式 を計算せよ。途中計算を残すこと。 行列A= について次に答えよ。 Aの行列式を因数分解せよ。 Aが逆行列を持つための条件を求めよ。 連立一次方程式 をクラーメルの公式..]]> Thu, 31 Jan 2013 00:34:54 +0900

《追記》　～2013年度シラバスとの比較～ 2013年度のレポート設題の8割程度は、2012年度のレポート設題と一致しておりますので、有用な資料であると考えております。 なお、2013年度レポート設題内容と2012年度レポート設題内容の差異[314]
◆本リポートについて ・「2012年度の幾何学概論(S0639)の第1設題」に対する解答例です。教科書や参考書を駆使して作成しました。 ・最初に問題一覧を記載してから、その後にそれぞれの問題に対して解答しております。 ・解答は太字で表記しております。(ただし、証明は除く。) 問題 fを集合Xから集合Yへの写像、gを集合Yから集合Zへの写像とする。次のことがらを証明せよ。 次の問いに答えよ。 命題p,q,rについて、 を証明せよ。 集合Xとその部分集合A,B,C について、 となることを、上の(1)を使って証明せよ。 集合Xから集合Yについて、XからYへの全射f:X→Yが存在するとき、|Y| |X|であることを証明せよ。 {0,1}の無限列全体の集合をXとする。 すなわち、集合族{ }とおくとき とする。 を証明せよ。 解答 fを集合Xから集合Yへの写像、gを集合Yから集合Zへの写像とする。次のことがらを証明せよ。 fおよびgが単射ならばfとgの合成 も単射である。 fおよびgが全射ならばfとgの合成 も全射である。 |X| |Y|で|Y| |Z|ならば、|X| |Z|である。 (1) ..]]> Sun, 26 Feb 2012 16:26:42 +0900

このリポートは、B評価資料です。所見では、「大体できていますが、問3（2）の論証の進め方に注意してください」とありました。この問題は、2012年5月以降変更の可能性があります。難しい幾何学概論の理解を助ける役割を果たせたらと思います。[335]
]]> Sun, 26 Feb 2012 16:20:54 +0900

この資料は、C評価資料です。所見では、「問4以外はできております。問4は再検討してください。」とあります。 C評価とはいえ、問の75％は正解です。問題変更（2012年5月以降）の可能性があるので、難しい幾何学概論のリポートを作成するためにも[336]
を集合Xから集合Yへの写像、 を集合Yから集合Zへの写像 とする。つぎのことがらを証明せよ。 （1） および が単射ならば と の合成 も単射である。 （2） およびが 全射ならば と の合成 も全射である。 （3） で ならば、 である。 つぎの問いに答えよ。 （1）命題 について、 を証明せよ。 （2）集合Xとその部分集合 について、 となることを、上の（1）を使って証明せよ。また、図を使って説明せよ。 集合Xから集合Yについて、XからYへの全射ｆ：X→Yが存在るすとき、 であることを証明せよ。 の無限列全体の集合をXとする。すなわち 集合族 とおくとき、 となる。 テキストの「実数の集合..]]> Thu, 27 Oct 2011 12:32:20 +0900

佛教大学【S0639】『幾何学概論』の2011年度の過去問です。 この資料は私の手元にある2011年度の幾何学概論の科目最終試験問題6種類載せ、その全てに私なりの解答・解説をおこなったものになっています。 解答解説は、完璧ではありません。あ[328]
Ｓ０６３９幾何学概論２０１１年度科目最終試験 私の持っている2011年度の10回分の問題および、2010年度2回分計12回分をすべて載せています。 ※ただし、まったく同じ問題がありましたので、2011年度の問題は5種類です。 ※この資料は問題のみで解答・解説は行っていません。 問題の最初に書いている②～⑥、⑨、⑩、⑫～⑭、は問題が載っていた冊子番号です。 ■2011年度 ～・～・～・～・～・～・～・～・～・②・～・～・～・～・～・～・～・～・～・～ １．２つの命題p、qについて、命題p∨[q∨(￢p∧￢q)]は真であることを真偽表を用いて表せ。（￢pはpの上に-が付いているものや~pと同じです。つまりpの否定です。） ２．{0,1}の無限列全体の集合をXとする。すなわち 集合族{An = {0,1}:n∈N}とおくとき X = Ⅱ{An:n∈N} = {(a1,a2,･･･an,･･･):ai = 0,1 (i∈N)}とする。 (アレフゼロ)＜|X|を証明せよ。 ※ⅡはテキストP28積集合のことです。 ※アレフゼロはテキストP56にある可算濃度のことです。 ３．ユークリット平面R2の部分集合族{An:n∈N}ただし、 An = {1/n} × Rについて、次の問いに答えよ。 (1)∪{An:n∈N}の閉包を求めよ。 (2)b(∪{An:n∈N})を求めよ。 ～・～・～・～・～・～・～・～・～・～・～・～・～・～・～・～・～・～・～・～ ～・～・～・～・～・～・～・～・～・③・～・～・～・～・～・～・～・～・～・～ １．命題pnを”-1/nより小さい”、命題qnを”1/nより大きい”と定め、 Rの部分集合An = {x∈R:(pn∨qn)(x)が真である}とおくとき、次の問いに答えよ。 (1)∪{An:n∈N}を求めよ。 (2)∩{An:n∈N}を求めよ。 ２．デデキンドの切断を用いて、次の問いに答えよ。 (1)2及び√3を切断で表せ。 (2)√3＜2を切断を用いて表せ。 ３．fをユークリッド平面R2から実数直線R1への写像として次のように定める。 R2∋x = <x1 , x2>に対して、f(x) = x1 このとき、fはR2からR1への連続写像であることを証明せよ。 ～・～・～・～・～・～・～・～・～・～・～・～・～・～・～・～・～・～・～・～ ～・～・～・～..]]> Thu, 29 Jan 2009 21:07:57 +0900

S0639 幾何学概論 2007,2006-① 1. P,Q,R=真のときを考える。(真and 真)or真=(真or真)and(真or 真)により成立する。 P,Q,R=偽のときを考える。(偽and 偽)or偽=(偽or偽)and(偽or[210]
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