明星大学 通信 「PF2010 代数学1 1単位目+2単位目 2020年度」 合格レポート

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    明星大学 通信教育課程「PF2010 代数学1 1単位目+2単位目 2020年度」の合格レポートとなります。
    なかなか合格できない方々に参考にして頂ければと思います。

    1単位目に関しては、特に赤字で直されることなく合格しております。


    1単位目
    1.G を群とする。任意の x,y ∈G に対して 〖(xy)〗^2=x^2 y^2 が成り立つならば、G は可換群であることを示せ。ただし、群の公理のみを使って示すこと。
    2. G=R{-1} とし、演算a*b=a+b+abを考える。ただし、右辺は実数における普通の和と積である。
    (1) 集合G はこの演算で閉じていることを示せ。すなわち、a,b∈Gならa*b∈Gとなることを示せ。
    (2) (G,*)は群になることを示せ。
    (3) 3*x*2 5 を満たすx∈G を求めよ。
    3. 正三角形の二面体群D_6の自明でない部分群をすべて求めよ。

    2単位目
    1.σ=~~は偶置換か奇置換かを調べよ。
    2.二面体群D_10 の共役類を求めよ。
    3. 整数nに対して、 φ(n) =i^nと定める。ただし、iは虚数単位。
    (1) は加法群Z から乗法群C への準同型写像であることを示せ。
    (2) の像と核を求めよ。
    (3) に準同型定理を適用するとどのようなことが分かるか。

    資料の原本内容 ( この資料を購入すると、テキストデータがみえます。 )

    1 単位目
    1.G を群とする。任意の 𝑥, 𝑦 ∈G に対して (𝑥𝑦)
    2 = 𝑥
    2𝑦
    2 が成り立つならば、G は可換
    群であることを示せ。ただし、群の公理のみを使って示すこと。
    2. G = R{−1} とし、演算𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑎𝑏を考える。ただし、右辺は実数における普通の
    和と積である。
    (1) 集合 G はこの演算で閉じていることを示せ。すなわち、𝑎, 𝑏∈G なら𝑎 ∗ 𝑏∈G となるこ
    とを示せ。
    (2) (G,∗)は群になることを示せ。
    (3) 3 ∗ 𝑥 ∗ 2 5 を満たす𝑥 ∈ G を求めよ。
    3. 正三角形の二面体群D6の自明でない部分群をすべて求めよ。
    2 単位目
    1.σ = (
    1 2 3 4 5 6 7
    ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
    1 2 3 4 5 7 6
    )は偶置換か奇置換かを調べよ。
    2.二面体群𝐷10 の共役類を求めよ。
    3. 整数 n に対して、 φ(n) = 𝑖
    𝑛と定める。ただし、i は虚数単位。
    (1) は加法群 Z から乗法群 C への準同型写像であることを示せ。
    (2) の像と核を求めよ。
    (3) に準同型定理を適...

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