幾何学概論設題1

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    1.
    2.(1)
    2.(2)
    3.
    集合 A、B の濃度が等しいことを、ここでは「A~B」で表す。
    無限集合 A、可算無限集合 N に対して、
    A∪N ~ A が成立することを証明する。
    A は無限集合であるから、単射 f : N → A が存在する。このとき、f(N) ~ N であり、
    A∪N = (A\f(N))∪f(N)∪N ~ (A\f(N))∪f(N) = A.
    したがって、上の命題のAに{無理数}、Nに{有理数}を代入すれば、
    {実数} = {無理数}∪{有理数} ~ {無理数}
    となり、①②から
    4.
    ( 1 )

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