幾何学演習講義資料6

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    幾何学演習講義資料

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    2006(C) BUKKYO UNIVERSITY All Rights Reserved.
    幾何学演習
    第6回(全8回)
    6
    -1
    2006(C) BUKKYO UNIVERSITY All Rights Reserved.
    定理1.
    X,Yを集合とし,fをXからYへの写像とする。 このとき,Xの部分集合A
    1,A2について,
    つぎのことがらが成り立つ。
    (1) f(A
    1∪A2)=f(A1)∪f(A2)
    (2) f(A
    1∩A2)⊂f(A1)∩f(A2)
    (3) f(A
    1-A2)⊃f(A1)-f(A2)
    6
    -2
    2006(C) BUKKYO UNIVERSITY All Rights Reserved. 6
    -3
    証明
    (1) f(A
    1∪A2)
    ∍y ⇒ A
    1∪A2∍∃x s t f ( x ) = y
    ⇒ ( A
    1∍
    x または A 2∍
    x) st f(x)=y
    ⇒ ( A
    1∍x st f(x)=y) または
    (A
    2∍x s t f ( x ) = y )
    ⇒ y
    ∊f(A
    1) または y

    f(A
    2)
    ⇒ y
    ∊f(A
    1)∪f(A2)
    よって,
    f(A
    1∪A2)⊂f(A1)∪f(A2)・・・・・①
    また,

    1⊂A1∪A2 , A2⊂A1∪A2 より
    f(A
    1) ⊂f(A1∪A2) , f ( A2) ⊂f(A1∪A2)
    よって,
    f(A
    1) ∪f(A2) ⊂f(A1∪A2) ・・・・・②
    したがって,①,②により
    f(A
    1∪A2)=f(A1) ∪f(A2) が成り立つ。
    2006(C) BUKKYO UNIVERSITY All Rights Reserved. 6
    -4
    証明
    (2) f(A
    1∩A2)
    ∍y ⇒ A
    1∩A2∍∃x s t f ( x ) = y
    ⇒ ( A
    1∍
    x か つ A 2∍
    x) st f(x)=y
    ⇒ ( A
    1∍x st f(x)=y) かつ
    (A
    2∍x s t f ( x ) = y )
    ⇒ y
    ∊f(A
    1) かつ y

    f(A
    2)
    ⇒ y
    ∊f(A
    1)∩f(A2)
    したがって,
    f(A
    1∩A2)⊂f(A1)∩f(A2)
    が成り立
    つ。
    2006(C) BUKKYO UNIVERSITY All Rights Reserved. 6
    -5
    証明
    (3) f(A
    1) - f ( A2)

    y ⇒ y

    f(A
    1) かつ y

    f(A
    2)
    ⇒ A
    1∍∃x s t f ( x ) = y か つ y
    ∉f(A
    2)
    ⇒ x
    ∊A
    1-A2 ,f(x)=y
    ⇒ y
    ∊f(A
    1-A2)
    したがって,
    f(A
    1-A2)⊃f(A1)-f(A2)
    が成り立
    つ。
    2006(C) BUKKYO UNIVERSITY All Rights Reserved.
    定理2.
    X,Yを集合とし,fをXからYへの写像とする。 このとき,Yの部分集合B
    1,B2について,
    つぎのことがらが成り立つ。
    (1) f
    -1(B1∪B2)=f-1(B1)∪f-1(B2)
    (2) f
    -1(B1∩B2)=f-1(B1)∩f-1(B2)
    (3) f
    -1(B1-B2)=f-1(B1)-f-1(B2)
    6
    -6
    2006(C) BUKKYO UNIVERSITY All Rights Reserved. 6
    -7
    これらの証明は同様にできるので,(1)だけを証明する。 証明
    (1) f
    -1(B1∪B2)∍
    x ⇔ f ( x )


    1∪B2
    ⇔ f ( x )

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    幾何学演習
    第6回(全8回)
    6
    -1
    2006(C) BUKKYO UNIVERSITY All Rights Reserved.
    定理1.
    X,Yを集合とし,fをXからYへの写像とする。 このとき,Xの部分集合A
    1,A2について,
    つぎのことがらが成り立つ。
    (1) f(A
    1∪A2)=f(A1)∪f(A2)
    (2) f(A
    1∩A2)⊂f(A1)∩f(A2)
    (3) f(A
    1-A2)⊃f(A1)-f(A2)
    6
    -2
    2006(C) BUKKYO UNIVERSITY All Rights Reserved. 6
    -3
    証明
    (1) f(A
    1∪A2)
    ∍y ⇒ A
    1∪A2∍∃x s t f ( x ) = y
    ⇒ ( A
    1∍
    x または A 2∍
    x) st f(x)=y
    ⇒ ( A
    1∍x st f(x)=y) または
    (A
    2∍x s t f ( x ) = y )
    ⇒ y
    ∊f(A
    1) または y

    f(A
    2)
    ⇒ y
    ∊f(A
    1)∪f(A2)
    よって,
    f(..

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