3-3角運動量の行列表現

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    角運動量の行列表現
    角運動量の話を第3部に持ってきた理由はここにある。
    交換関係
     ここまで描いてきた角運動量のイメージを補うために、数学の助けを借りることにしよう。
     まずは角運動量の演算子の交換関係を調べることから始める。 大抵の教科書では真っ先にやることではあるが、私の場合、今回の話でどうしても必要になるから仕方なく導いておくのである。
     交換関係を求める事は以前に「 不確定性原理 」のところでもやったが、忘れているかもしれないので、一つだけ丁寧に計算例を示しておこう。
     今回はわざわざ を付けて計算する意味はなかったが、 があることを意識して計算していることを示すために敢えて略さなかった。 この結果を交換子を使って書けば、
    とシンプルに表せる。 また、Lx, Ly, Lz は対称的な形式をしているので、わざわざ同じような計算を繰り返すことなく、
    という関係も得られる。
     交換子の値が0であったなら、同時に2つの演算子の固有関数となる関数が存在するということだが、この場合は L = ( 0, 0, 0 ) でもない限りは、 L のそれぞれの方向からの観測値は同時には決められないということであり、それはすでに前回話した通りだ。
     ちなみに
    という関係を導く事も出来るが、これは量子数 l と m とを同時に定める事が出来ることを意味している。 これも前回やった事の確認である。
     しかし、交換関係はこんなことを説明するためだけにあるのではない。 本当の使い道はこの後にある。
    行列への変換
     微分演算子と行列が論理的には等価だという話は第2部で出てきた。 そこで、角運動量の演算子を行列で表したらどうなるだろうかと考えてみよう。
     なぜそんなことを考えるかというと、あの複雑な原子の波動関数に対して極座標で微分計算をするという面倒な手続きから解放されたいからである。 もっとすっきりと論理構造を見渡せるようになるのではないかという期待がある。
     簡単な例を挙げて説明しよう。 と言っても l = 0 では話にならないので l = 1 を考える。 この時、m = 1, 0, -1 という3つの状態がありうるのだった。 エルミート演算子の異なる固有値に属する固有関数は互いに直交しているという数学的な要請があり、ベクトル表現でも同じ事が言えるはずだ。 これら3つの直交する状態ベクトルを |1> , |0> , |-1> という記号で表すことにしよう。 具体的には
    というベクトルをイメージすればいい。 本当はこれらをユニタリ変換したどんなベクトルの組でもいいのだが、簡単なところから考える方がいいだろう。
     この有限次元のベクトルは何を意味しているのだろうか。 波動関数というのは無限次元の複素ベクトルであるという話だった。 これはその無限に軸がある空間内から、主量子数 n がある値であるような空間だけを持ってきて、さらにその中の l = 1 という条件を満たす部分的な空間だけを取り出してきたようなイメージである。
     つまり「無限次元の存在」の断面図を見ているようなもので、今はその断面は3次元であり、l が変化しない限りは状態ベクトルもその断面上に乗っかって存在すると考えているわけだ。 しかし今は他の次元のことは忘れて、3次元が全てだと考えた方が分かりやすい。
     このとき、演算子 Lz を表す行列は非常にシンプルに書ける。
     こうしておけば、
    という関係が満たされているわけだ。 ちなみに l = 2 の場合には Lz は
    という形に

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    角運動量の行列表現
    角運動量の話を第3部に持ってきた理由はここにある。
    交換関係
     ここまで描いてきた角運動量のイメージを補うために、数学の助けを借りることにしよう。
     まずは角運動量の演算子の交換関係を調べることから始める。 大抵の教科書では真っ先にやることではあるが、私の場合、今回の話でどうしても必要になるから仕方なく導いておくのである。
     交換関係を求める事は以前に「 不確定性原理 」のところでもやったが、忘れているかもしれないので、一つだけ丁寧に計算例を示しておこう。
     今回はわざわざ を付けて計算する意味はなかったが、 があることを意識して計算していることを示すために敢えて略さなかった。 この結果を交換子を使って書けば、
    とシンプルに表せる。 また、Lx, Ly, Lz は対称的な形式をしているので、わざわざ同じような計算を繰り返すことなく、
    という関係も得られる。
     交換子の値が0であったなら、同時に2つの演算子の固有関数となる関数が存在するということだが、この場合は L = ( 0, 0, 0 ) でもない限りは、 L のそれぞれの方向からの観測値は同時には決..

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