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    波動関数の正体に迫る。
    波動関数とベクトルの関係
     関数系による足場を外されたので少々不安を感じているかも知れない。  ここらで「波動関数表現」と「ベクトル表現」の関係を数式を使って確認しておくことにしよう。 そうすれば少しは安心できるだろうか。 これさえ分かればどちらの形式を使って表現されようが、頭の中でいつでも相互に翻訳することが出来るようになるわけで、ブラ・ケット記法で書かれた教科書を避けなくてもよくなるわけだ。
     まず デルタ関数 の性質について思い出してもらいたい。 デルタ関数はその引数が0になる一点でのみ無限大の値を持ち、その点を含む範囲で積分すると1になるという性質を持っているのであった。 それで次のような関係が成り立っている。
     むむむむむ。 よく見るとこの式は「関数の内積」と同じ形をしているのではないだろうか? 積分内の左側の関数に複素共役の記号が付いていないが、デルタ関数の複素共役を取ったところで元と変わらないので、あってもなくても関係ない。 まさに関数の内積だ。 つまり、ここまでの説明を復習してもらえば理解できると思うが、この式は次のように表現することも出来るということになる。
     実際、デルタ関数は完全な関数系の無限の和によって表現できることが証明されており、デルタ関数がベクトルとして表現できるということについては問題ない。 もちろんこの場合、周期的に無限が現れる形のデルタ関数になることに注意しよう。 無限の範囲で一つだけピークがあるようなデルタ関数は積分しなければ作れない。 この辺りのことは「フーリエ変換」を学ぶといい。
     次に、ここに出てきたベクトル <δ(x - a)| の意味について考えてみよう。 もともとデルタ関数 δ(x-a) が意味するものは何だろうか? もしこれを波動関数であると考えるなら、これは粒子が「確実に座標 x = a に見出される」という状態を意味していることになる。 積分した結果もちゃんと1になるし、まさに規格化された波動関数のようである。 つまり、|δ(x - a) > は粒子が確実に座標 a に存在するという状態を表すベクトルだと言えるわけだ。
     さあ、意味が分かればもうデルタ関数の存在にこだわる必要もないだろう。 今後は「粒子が確実に座標 x に存在する状態」を表すベクトルを |x> と書くことにする。 このベクトルを「座標ベクトル」と呼ぶ。 こうすることで一般の教科書にあるように、
    という表現が可能になるわけだ。 これが波動関数とベクトル表現の関係を表す式である。 大抵の教科書ではこの式に至るまでのこういった事情説明がすっぽり抜けていて、きっと抽象的な話なんだろうなぁと理解するしかないのだが、意外と具体的な内容であることが分かるだろう。
    観測の意味
     これを見ると、波動関数とは何かという本質が見えて来る。
     まずは状況を説明しよう。 無限次元複素ベクトル空間の中に、互いに直交する無限個のベクトル |x> が存在する。 あるベクトルは粒子が確実に x = 1 にあるという状態を表し、あるベクトルは粒子が x = 1.32 にあることを表す。 これらの状態は同時には起こりえないから、互いに直交しているというイメージがぴったりなわけだ。 そしてその空間内に、ベクトル |x> の方向など全く無視して横たわる状態ベクトルが存在し、それが粒子の本来の状態を表している。
     先ほどの式を見ると、波動関数 はこの2種類のベクトル |x> と の内積で表されている。 つまり波動関数と

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    波動関数の正体に迫る。
    波動関数とベクトルの関係
     関数系による足場を外されたので少々不安を感じているかも知れない。  ここらで「波動関数表現」と「ベクトル表現」の関係を数式を使って確認しておくことにしよう。 そうすれば少しは安心できるだろうか。 これさえ分かればどちらの形式を使って表現されようが、頭の中でいつでも相互に翻訳することが出来るようになるわけで、ブラ・ケット記法で書かれた教科書を避けなくてもよくなるわけだ。
     まず デルタ関数 の性質について思い出してもらいたい。 デルタ関数はその引数が0になる一点でのみ無限大の値を持ち、その点を含む範囲で積分すると1になるという性質を持っているのであった。 それで次のような関係が成り立っている。
     むむむむむ。 よく見るとこの式は「関数の内積」と同じ形をしているのではないだろうか? 積分内の左側の関数に複素共役の記号が付いていないが、デルタ関数の複素共役を取ったところで元と変わらないので、あってもなくても関係ない。 まさに関数の内積だ。 つまり、ここまでの説明を復習してもらえば理解できると思うが、この式は次のように表現するこ..

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