1-12原子の構造

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    原子の構造
    原子の存在は、風のようなものだ。
    原子模型
     電子は負の電荷を持っており、原子核の持つ正電荷に引き寄せられることで、原子核の周囲を回っているらしい。 その事が確からしいと分かり始めたのは1911年のラザフォードの実験による。
     しかしなぜ電子が原子核に突っ込まないで軌道を保っていられるのかは長い間の謎であった。 というのも、電荷を持った粒子が加速運動を行うと、電磁波を放出しながらブレーキが掛けられるという良く知られた現象があるからである。 原子核の周りでの円運動も加速運動の一種であるから、電子は光を放出してその分の運動エネルギーを失い、原子核の引力に負けてたちまちの内に原子核に墜落してゆくはずなのだ。 電磁気学の計算からは確かにそうなることが導かれる。
     なぜ電子は電磁波を放出しないで安定な状態を保っていられるのだろう。 そしてどんな軌道を回っているのだろう。  その仕組みは量子力学によってようやく理解できるようになった。
    基本となる式
     原子核の電荷によるポテンシャルエネルギーは
    と書ける。 ごちゃごちゃとした係数をひとまとめにして a と置いたわけだが、念のために書いておけば、
    である。 Z は原子番号で、e は電子の電荷を表す。
     これをシュレーディンガー方程式に代入して解けば、電子が原子核の周りでどんな波を作るのかが分かるはずだ。 このポテンシャルの式は原子核からの距離 r にのみ依存する球対称の形をしているので、今までの式では解きにくい。 時間に依存しない3次元のシュレーディンガー方程式
    を極座標に変換してやろう。 これは解析力学のページに書いておいた「座標変換のやり方」を参考にしてこつこつやれば出来る。
     これで本当に解きやすくなったのかと疑いたくなる気持ちは分かる。 両辺に r2 を掛けたり、移項したりすれば少しは見やすくなるかも知れない。
     それでもまだ、r やら θ やら やらが一緒になっていて、解きにくいどころか、どこから手を付けたらいいか分からない状態なので、前に紹介した変数分離法を使って分解してやることにする。 変数分離法というのはこんな具合にいつでも気軽に使うようなテクニックなのである。
    変数分離法
     やることは前に行ったのと大して変わらない。 まず波動関数が、
    という形になっていると仮定してやる。 すると方程式は
    と書けるだろう。 微分に関係のない関数は定数のように扱って各項の前の方へ出しておいた。 この式の両辺を R ( r ) Y ( θ, )で割ってやると、
    のようになって、左辺は r のみの関数に、右辺は ( θ, ) の関数にすることが出来る。 つまり、両辺は r, θ, に依存しないある定数になっているはずだ。 それを λ と置こう。 そうすれば、上の式を次のような二つの式に分離する事が出来る。
     次に、今、分離したばかりの2番目の式に含まれる θ と を分離してやりたい。 その準備としてこの両辺に sin2θ を掛けて少しすっきりさせておこう。
     ここで、
    を仮定して代入してやると、
    となる。 やはり同じように両辺を   で割ってやる。
     するとこの式の左辺は θ のみの関数であり、右辺は のみの関数となるので、両辺は θ にも にも依存しないある定数 ν に等しいに違いない。 こうして2つの式に分離できることになる。 ついでだから、先ほどの結果とまとめて書いておくことにしよう。
     結局、極座標のシュレーディンガー方程式は、次のような3つの式に分離できたことに

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    原子の構造
    原子の存在は、風のようなものだ。
    原子模型
     電子は負の電荷を持っており、原子核の持つ正電荷に引き寄せられることで、原子核の周囲を回っているらしい。 その事が確からしいと分かり始めたのは1911年のラザフォードの実験による。
     しかしなぜ電子が原子核に突っ込まないで軌道を保っていられるのかは長い間の謎であった。 というのも、電荷を持った粒子が加速運動を行うと、電磁波を放出しながらブレーキが掛けられるという良く知られた現象があるからである。 原子核の周りでの円運動も加速運動の一種であるから、電子は光を放出してその分の運動エネルギーを失い、原子核の引力に負けてたちまちの内に原子核に墜落してゆくはずなのだ。 電磁気学の計算からは確かにそうなることが導かれる。
     なぜ電子は電磁波を放出しないで安定な状態を保っていられるのだろう。 そしてどんな軌道を回っているのだろう。  その仕組みは量子力学によってようやく理解できるようになった。
    基本となる式
     原子核の電荷によるポテンシャルエネルギーは
    と書ける。 ごちゃごちゃとした係数をひとまとめにして a と置いたわけだが、念のために..

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