1-11調和振動子

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    調和振動子
    軽い気持ちで書き始めたのだが、つい長くなってしまった。
    目的
     「時間に依存しない方程式」の形を学んだばかりでもあるし、慣れるために簡単な例を紹介しておこう。 前に、微分方程式の解には離散的なエネルギー値だけが許される場合があるという話をしたが、その状況がここで出てくる。 そのような制限が生じる理屈を知っておくのも面白い。
     それに今回の話は、応用範囲がとても広い。 現実的な問題への応用だけでなく、理論上の応用もある。 なるべく最短で最先端へ近付きたいのだが、どうしても避けて通れないところである。 まぁ、今はあまり深読みをしなくてもいいから、軽い気持ちで楽しんでもらえれば、と思う。
     必要になった時にまたじっくり読み返せばいいのだから。
    解くべき式
     理想的なバネにつながれて振動する物体の運動を「調和振動」と呼ぶ。 高校の物理で習い始める「単振動」というのは、「1次元のみの単純な調和振動」を略して「単振動」と呼んでいるのである。 調和振動を起こすような系を「調和振動子」と呼ぶ。 調和振動は変位に比例した復元力が働く時に起きる。
     これはフックの法則と呼ばれている式である。 先ほど言った「理想的なバネ」というのはそういうことだ。 高校物理に毒されていると、「バネは当然フックの法則に従う」ものだと無意識に信じ切ってしまっていることがあるが、現実のバネはこの法則におおよそ従っているだけに過ぎない。 しかし今は今後の理論の道具立てをしようという隠れた目的もあるので、理想論がとても大事なのだ。
     上のような理想的な復元力を実現するポテンシャルを求めるのは簡単だ。 力とポテンシャルの間には
    という関係があるので、 F(x) を x で積分してマイナスを付けてやればいい。
     難しいことを言わなくとも、単にバネの位置エネルギーである。
     ところで、バネ定数 k というのは高校物理から非常に慣れ親しんだ分かりやすい概念かも知れないが、調和振動が起こるときに必ずバネが存在しているとは限らない。 今後の理論では古典的な存在である「バネ」のイメージをあまり意識しないようにしたいので、 k を別の物理量で置き換えて使うことにしよう。
     古典的な振動解の一つは、
    であった。 だから、
    と書き直せばいい。 つまり、
    という形になる。 もちろん、k を使い続けても理論上の問題はあまりないのだが、こうしておいた方が式が綺麗にまとまることが多いという利点がある。 今の内に慣れておくのがいいだろう。 こういう書き換えは普通の力学でもよく行われることである。
     これで準備は整った。 ここまでは古典力学の話だったが、それを量子力学でやるとどうなるか、やってみよう。 こんな式を解けばいい。
     簡単には解けないのだが、不必要なくらいに丁寧に説明しておこう。
    解き方
     このままでは解きにくいので、なるべく簡単な形に変形する必要がある。 x と E を
    と置くと、方程式は
        (1)
    という簡単な形になる。 これは別に複雑なことをやったわけではない。 ただのスケールの変換だ。 x = a ξ , E = b ε とでも置いて代入してやり、 a, b をどう決めたら式が簡単になるかを考えればいいだけである。 もしバネ定数 k を使っていたら、a, b はもう少し面倒な形になるが、 (1) 式が導かれるという結果は変わらない。
     簡単な式にはなったけれども、いきなり解くのはまだ難しい。 そこで、ξ→∞ の極限での解がどうなるかをまず考える。 そこでは

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    調和振動子
    軽い気持ちで書き始めたのだが、つい長くなってしまった。
    目的
     「時間に依存しない方程式」の形を学んだばかりでもあるし、慣れるために簡単な例を紹介しておこう。 前に、微分方程式の解には離散的なエネルギー値だけが許される場合があるという話をしたが、その状況がここで出てくる。 そのような制限が生じる理屈を知っておくのも面白い。
     それに今回の話は、応用範囲がとても広い。 現実的な問題への応用だけでなく、理論上の応用もある。 なるべく最短で最先端へ近付きたいのだが、どうしても避けて通れないところである。 まぁ、今はあまり深読みをしなくてもいいから、軽い気持ちで楽しんでもらえれば、と思う。
     必要になった時にまたじっくり読み返せばいいのだから。
    解くべき式
     理想的なバネにつながれて振動する物体の運動を「調和振動」と呼ぶ。 高校の物理で習い始める「単振動」というのは、「1次元のみの単純な調和振動」を略して「単振動」と呼んでいるのである。 調和振動を起こすような系を「調和振動子」と呼ぶ。 調和振動は変位に比例した復元力が働く時に起きる。
     これはフックの法則と呼ばれている式であ..

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