1-17相対論的なマクスウェル方程式

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    相対論的なマクスウェル方程式
    なんと!式が一つになってしまう。
    相対論的表現への書き換え
     さあ、ようやく数学的な話を離れて物理的な話に戻ることができる。 ここまで用意してきた道具を使って、電磁気のマクスウェル方程式をエレガントに書き直すことを考えてみよう。
     電磁気学のページの「 ゲージ変換 」の記事の頭の部分にまでさかのぼることにする。 マクスウェルの方程式を電磁ポテンシャルで書き直して、次のようなよく分からない2つの式を得たところである。
     少し表現方法が変えてあるが以前と同じ式である。 電磁気学のページではここからゲージ変換によってローレンツ条件を満たすようにして式を簡略化したのであった。 しかし相対論的な演算子について学んだこの段階ではそんなことをしなくても簡単に表すことが出来るようになっている。  まず2番目の式を1番目の式の形に近付けることを考えてみよう。 そのために次のように2つの項を追加してやる。
     引いた分だけ後で足しているので差し引き0である。 これでかなり似た形になっただろう。 後ろの項の時間微分をくくり出してやれば、さらに似た形になる。
     ここで次元を合わせるために両辺を c で割ってやる。 なぜなら第1の式の grad の部分は座標による微分であって、一方、この式の同じ部分は時間微分になっているからである。
     全ての式が同じ形式で書けるようにするために、電磁気学のページですでにやったように、電磁ポテンシャル A と電流密度 i を4元量に拡張したものを導入しよう。 つまり、
    のような量を定義するのである。 これによって、右辺の形まで合わせることが出来て、
    となる。 一方、第1の式の方も grad などを使ってベクトル表記してあるが、実は以下のような3つの式の集合体である。
     ごく僅かな差が見られるが、4次元の微分演算子の知識を使えばまるで問題ない。 これらの4つの式は
    のように極めて簡単な一つの式でまとめて表せることになる。 このたった一つの式に、マクスウェル方程式の全てが集約されているのである。 ああ、何と美しい表現だろうか。
     学部生の頃に「黒板にマクスウェル方程式を書いてみろ」と言われてこの式を書いたりなんか出来たらかっこ良かっただろうなぁ。
    ローレンツ条件
     この視点からなら電磁気学のページでやったことが非常に簡単に理解できるだろう。 まず電磁気のページでは少々複雑に見えたローレンツ条件、
    は相対論的に表せば次のように書けてしまう。
     これを先ほど求めたマクスウェル方程式に代入すれば、電磁気学のページでやった「ローレンツゲージにおけるマクスウェル方程式」になるのがすぐに分かる。 あの時ごちゃごちゃとこねくり回していたのは一体何だったの?と言いたくなるほどだ。
    電荷の保存則
     何だったの?と言いたくなる事は他にもある。 電荷の保存則、
    も、相対論的に表現すれば次のように書けてしまう。
     しかしこれは すでにマクスウェル方程式に含まれているのである。 それを確かめたければ、方程式の両辺を微分してやればいい。
    とまぁ、こんな具合だ。 計算の途中で微分演算子の順序を入れ替えている部分が気になっている人もいるかも知れない。 量子力学では「座標を掛ける」というような演算子が出てくるので、掛けてから微分するのと微分してから掛けるのとでは大違いだが、ここではどうせ時間で微分するか座標で微分するか程度のことしかやっていないので順序の入れ替えは全く問題ないのである。
     ところで電磁気学のページでこれ

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    相対論的なマクスウェル方程式
    なんと!式が一つになってしまう。
    相対論的表現への書き換え
     さあ、ようやく数学的な話を離れて物理的な話に戻ることができる。 ここまで用意してきた道具を使って、電磁気のマクスウェル方程式をエレガントに書き直すことを考えてみよう。
     電磁気学のページの「 ゲージ変換 」の記事の頭の部分にまでさかのぼることにする。 マクスウェルの方程式を電磁ポテンシャルで書き直して、次のようなよく分からない2つの式を得たところである。
     少し表現方法が変えてあるが以前と同じ式である。 電磁気学のページではここからゲージ変換によってローレンツ条件を満たすようにして式を簡略化したのであった。 しかし相対論的な演算子について学んだこの段階ではそんなことをしなくても簡単に表すことが出来るようになっている。  まず2番目の式を1番目の式の形に近付けることを考えてみよう。 そのために次のように2つの項を追加してやる。
     引いた分だけ後で足しているので差し引き0である。 これでかなり似た形になっただろう。 後ろの項の時間微分をくくり出してやれば、さらに似た形になる。
     ここで次元を..

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