1-13反変ベクトル・共変ベクトル

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    反変ベクトル・共変ベクトル
    名前にはそれほど深い意味はない。
    反変ベクトル
     ベクトルには位置ベクトル、速度ベクトル、電場ベクトルなど色々あって、座標変換するとその成分が変更を受けることになるわけだが、その時にどのようなルールで変換されるかによって二通りに分類される。  一つが「反変ベクトル」であり、もう一つが「共変ベクトル」である。 いや、口が下手で申し訳ない。 どちらのルールにも従わないベクトルもあるので、全てのベクトルがこのどちらかに分類されるというわけではない。
     反変ベクトルの方が身近なのでこちらから説明しよう。 例えば位置の微小変化を表すベクトル ( dx, dy, dz ) を考える。 これを別の座標系で表したい時には次のような座標変換の計算をすることだろう。 これは多変数の微積分の基礎なので、分からなければあまり悩まずに受け入れるか、その辺りの教科書に立ち返るのがいいだろう。
     これと同じ変換規則を持つものは全て「反変ベクトル」と呼んでやろうというわけだ。 「反変」などという呼び方をするのは次のような大したことない理由からである。
     思い切り単純な例で申し訳ないが、例えば元の座標系が3次元のデカルト座標であった場合、基本ベクトルは ( 1, 0, 0 ) ( 0, 1, 0 ) ( 0, 0, 1 ) の3つである。 この座標系からスケールが x 方向に2倍、y 方向に3倍、z 方向に4倍に引き伸ばされたような座標系に移ったとする。 つまり、新しい座標系での基本ベクトルを古い座標で表してやれば ( 2, 0, 0 ) ( 0, 3, 0 ) ( 0, 0, 4 ) になるということだ。 位置の微小変化のベクトルの大きさはこのような新しい基本ベクトルを基準にして測られるので、x 方向については元の 1/2、y 方向には 1/3、z 方向は 1/4 になってしまう。 基本ベクトルは 2倍、3倍、4倍になったのに、これはそれとは「反対の変化」じゃないか、というのである。 だから「反変」。
     反変ベクトルには他にどんなものがあるだろう? いやいや、必死になって探すことはない。 反変ベクトルはそこら中にありふれているのだ。 例えば次のような形式で書ける座標変換を行う場合には、座標ベクトルそのものが反変ベクトルになっている。
     なぜだか分かるだろうか? ここでもし (∂x'/∂x) を計算すれば係数 A が出てくるだろう。 (∂x'/∂y) を計算すれば係数 B だ。 つまり上のような線形変換に限っては、座標変換自体が反変ベクトルのルールそのものだということになる。 ローレンツ変換もこの場合に当てはまる。  しかし極座標や他の曲線座標などへの変換ではこの話は成り立たないので、この場合には座標ベクトルは反変ベクトルではない。 ただ初めに説明したように、「座標の微小変化」ならば極座標への変換でも反変ベクトルの条件を満たしている。
     反変ベクトルは他にもいくらでもある。 そのことを説明するために「スカラー量」について説明しておこう。
     座標変換しても値が変化を受けない量を「スカラー量」と呼ぶ。 これまでは、成分が一つで方向を持たないものをスカラー、複数の成分を持っていて方向と大きさを表すものをベクトル」という具合に分かりやすい言葉で習ってきたかと思うが、まぁ、それでもほとんど認識を変える必要はないだろう。 座標変換というのは位置が変わるわけではなく位置の表し方が変わるだけなので、方向性を持たない量が変換によって値が変わってしまうことは

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    反変ベクトル・共変ベクトル
    名前にはそれほど深い意味はない。
    反変ベクトル
     ベクトルには位置ベクトル、速度ベクトル、電場ベクトルなど色々あって、座標変換するとその成分が変更を受けることになるわけだが、その時にどのようなルールで変換されるかによって二通りに分類される。  一つが「反変ベクトル」であり、もう一つが「共変ベクトル」である。 いや、口が下手で申し訳ない。 どちらのルールにも従わないベクトルもあるので、全てのベクトルがこのどちらかに分類されるというわけではない。
     反変ベクトルの方が身近なのでこちらから説明しよう。 例えば位置の微小変化を表すベクトル ( dx, dy, dz ) を考える。 これを別の座標系で表したい時には次のような座標変換の計算をすることだろう。 これは多変数の微積分の基礎なので、分からなければあまり悩まずに受け入れるか、その辺りの教科書に立ち返るのがいいだろう。
     これと同じ変換規則を持つものは全て「反変ベクトル」と呼んでやろうというわけだ。 「反変」などという呼び方をするのは次のような大したことない理由からである。
     思い切り単純な例で申し訳ないが..

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