1-104元運動量

全体公開
ダウンロード pdfダウンロード
ページ数4
閲覧数499
ダウンロード数9
履歴確認

    ファイル内検索

    タグ

    資料紹介

    4元運動量
    「E = mc2」 はこんなに簡単に求められるんだよ。
    4元運動量
     前に4元速度を定義したが、確かに4元速度は素人には使い道がないのでつまらない。 では、これを4元運動量に拡張してやったらどうだろう。 力学で、速度と質量を掛け合わせることで運動量を定義したように、4元速度と質量を掛け合わせることで「4元運動量」を作るのだ。 これには意外な結果が待っている。
     ただ、しかし、運動量を作るために4元速度と質量を掛け合わせただけでは不都合がある。 それは単位の問題である。 普通の速度は距離を時間で割ったものだが、4元速度は距離を「固有時」で割ったものである。 固有時は時間に光速度 c を掛けて長さの単位に合わせたものであった。 つまり、4元速度は長さを長さで割っていることになるので無次元量になってしまっている。 時間を長さの単位で表すために掛けた光速度 c の分だけ割りすぎているのである。 そこで4元運動量を定義する際に、その分を掛けて単位をちゃんと普通の運動量の単位に合わせておくことにしよう。
     本来こういうことは4元速度の定義のところで光速度 c を掛けて調整しておくべきなのだが、今回は話の流れ上、私が学生時代に愛読していた本に従った。 それで、そのツケが4元運動量の定義の部分に回ってきただけの話である。 教科書によってはちゃんと4元速度に光速度cを掛けて定義してあるものもある。
     とにかく、次のように4元運動量 ( p0, p1, p2, p3 ) を定義しよう。
    p0 = mc u0,  p1 = mc u1,  p2 = mc u2,  p3 = mc u3
     これは4元速度に mc を掛けただけなので当然次のような組み合わせは不変量になる。
    (mc)2 = ( p0 )2 - ( p1 )2 - ( p2 )2 - ( p3 )2
     前に出てきた4元速度についての式の両辺に (mc)2 を掛けてやっただけだ。 この式はしっかり意味を考えて見なくてはならない。 p のすぐ右上についている数字はべき乗を表すのではなく、ただの添え字である。 そして、括弧の外についている「2」は、2乗を表している。
     さて、数式の上では憧れの「E = mc2」にかなり近づいている。 これをちょっといじるだけでよい。 このまま一気になだれ込みたいところだが、正しい議論のためにこの4元運動量の意味を確認しておく必要がある。
    4元運動量の意味を考える
      前回の一番最後で計算した結果を使ってやれば、4元運動量はそれぞれ、
    p0 = mcγ,  p1 = γmvx ,  p2 = γmvy ,  p3 = γmvz
    のようになる。 p0 についてはまだ意味が良くわからないが、他の3つについては普通の運動量の定義に γ がついただけである。 γというのは 1 / √( 1 - v2/c2 ) のことであって、速度 v が光速度 c と比べて極端に小さい時にはほとんど1に近い。 よって、4元運動量の3つの部分はニュートン力学的な極限で普通の運動量の定義と同じものになるのである。
     ここで我々は、ハタと考えを改めて、こちらを本当の運動量として受け入れることにするのである。 今までは無邪気に質量と速度を掛け合わせただけで満足していたのだが、運動量の本質というのはもっと別のものであって、なぜか、p = mv / √( 1 - v2/c2 ) と表せる量なのだ、と考える事にするのである。 我々はこれまでその低速の極限で成り立つ p = mv という定義で

    資料の原本内容( テキストデータ全体をみる )

    4元運動量
    「E = mc2」 はこんなに簡単に求められるんだよ。
    4元運動量
     前に4元速度を定義したが、確かに4元速度は素人には使い道がないのでつまらない。 では、これを4元運動量に拡張してやったらどうだろう。 力学で、速度と質量を掛け合わせることで運動量を定義したように、4元速度と質量を掛け合わせることで「4元運動量」を作るのだ。 これには意外な結果が待っている。
     ただ、しかし、運動量を作るために4元速度と質量を掛け合わせただけでは不都合がある。 それは単位の問題である。 普通の速度は距離を時間で割ったものだが、4元速度は距離を「固有時」で割ったものである。 固有時は時間に光速度 c を掛けて長さの単位に合わせたものであった。 つまり、4元速度は長さを長さで割っていることになるので無次元量になってしまっている。 時間を長さの単位で表すために掛けた光速度 c の分だけ割りすぎているのである。 そこで4元運動量を定義する際に、その分を掛けて単位をちゃんと普通の運動量の単位に合わせておくことにしよう。
     本来こういうことは4元速度の定義のところで光速度 c を掛けて調整しておくべ..

    コメント0件

    コメント追加

    コメントを書込むには会員登録するか、すでに会員の方はログインしてください。