1-94元速度

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    4元速度
    こんなものが何かの役に立つのか?
    4元速度を定義する
     人によって見方の変わる自分の時間を人に押し付けるのはやめて、相手の立場で時間を測ってやろうというのが固有時を使う思想である。
     そこで、これまで使っていた「速度の定義」を少し見直してやろう。  今までは観測者本位で、相手が微小時間に進んだ距離を自分の時間で微分して求めていた。 これは仕方がない。 これまで自分と相手が同じ時間を過ごしていると思い込んでいたのだから。  しかし相対論では相手の固有の時間を使うことにする。 定義を少し変更して、この固有時で微分して速度を定義してやることにする。 こうすれば、相手の「遅れた時計」で微分することになるので、上限速度が光速度に縛られない新しい速度を計算できることになる。 これで何か面白いことが言えるようになるのだろうか?
     残念ながら、3つの空間座標をそれぞれ微分しただけでは大した結果は期待できない。   そこで、「時間を長さで表した量」w をも固有時で微分してやることにする。  なぜこのようなことをするのかというと、・・・あまり良い説明は思いつかない。 「空間についてだけ微分したのでは時間を特別扱いすることになるので」とか、もっともらしい言い訳のようなことは言えるのだが、なぜ時間を特別扱いしてはいけないというのだろう?
     実はこのようにするのは、物理的な意味合いからではなく、数学的な要請からなのである。 それについては後で話すことにしよう。  とにかく、こうすることで速度の意味をもつ4つの量 ( u0, u1, u2, u3 )が出来上がる。 これを「4つの成分をもつ速度」という意味で 「4元速度」と呼ぶ。
    u0 = dw/dτ,  u1 = dx/dτ,  u2 = dy/dτ,  u3 = dz/dτ
     4元速度の記号として u を使ったのは、もう記号が尽きてきたからである。 これ以上なるべく記号を増やしたくないので、u の肩に数字を書いてそれぞれを区別することにする。 これはべき乗を表す記号ではない。 相対論ではこのような書き方をするので初心者の方は今のうちに慣れておいて欲しい。
     では、時間を固有時で微分したもの u0 には一体どんな物理的な意味があるのだろうか? 計算してやるとこれはローレンツ係数 γ となることが分かる。 しかし、ただそれだけである。 だからと言って特に面白い話が出来るわけではない。 この計算をここでやると話の流れが悪くなるので、後でまとめてやることにしよう。
    数学的な要請
     実は、4元速度の概念は物理的な意味合いから作られたものではなく、むしろ数学的な意味合いの方が強いということを話した。 ここまで、いかにも物理的に意味がありそうに説明してきたのは、なるべくイメージしやすいように無理やり物理的にこじつけをしていただけなのである。
     前に、4元座標( w, x, y, z )を組み合わせることで、ローレンツ変換しても不変な量を作ることができることを話した。 それらの微小量(dw, dx, dy, dz)を考えても同じことであり、
    dτ2 = dw2 - dx2 - dy2 - dz2
    のように表せる。 そしてここに出てくる dτ は固有時であることも話した。 これも当然、ローレンツ変換しても変化しない量である。  この式全体を、微小量dτの2乗で割ってやると、何が起こるかと言えば、
    1 = (dw/dτ)2 - (dx/dτ)2 - (dy/dτ)2 - (dz/dτ)2
    となり、4元速度をうまく組

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    4元速度
    こんなものが何かの役に立つのか?
    4元速度を定義する
     人によって見方の変わる自分の時間を人に押し付けるのはやめて、相手の立場で時間を測ってやろうというのが固有時を使う思想である。
     そこで、これまで使っていた「速度の定義」を少し見直してやろう。  今までは観測者本位で、相手が微小時間に進んだ距離を自分の時間で微分して求めていた。 これは仕方がない。 これまで自分と相手が同じ時間を過ごしていると思い込んでいたのだから。  しかし相対論では相手の固有の時間を使うことにする。 定義を少し変更して、この固有時で微分して速度を定義してやることにする。 こうすれば、相手の「遅れた時計」で微分することになるので、上限速度が光速度に縛られない新しい速度を計算できることになる。 これで何か面白いことが言えるようになるのだろうか?
     残念ながら、3つの空間座標をそれぞれ微分しただけでは大した結果は期待できない。   そこで、「時間を長さで表した量」w をも固有時で微分してやることにする。  なぜこのようなことをするのかというと、・・・あまり良い説明は思いつかない。 「空間についてだけ微分し..

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