4-4汎関数微分

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    汎関数微分
    とりあえずは無難な内容をこちらへまとめてみた。
    実は変分法と同じ内容
     ここでは「汎関数微分」を物理から離れて説明しようと思う。 前にも話したが、汎関数微分というのは、第 3 部の「ベルヌーイの問題提起」のところで説明したのと論理的には同じ内容である。 しかしそうは言われても、じっくり考えてみないとどこまでが同じなのかなかなか気付けないものだ。
     普通の微分があらゆる分野のあらゆる場面に使われるように、汎関数微分も色んな場面で利用されている。 最速降下線問題に限って使うような話ではないわけだ。
     特定の具体例に縛られて思考を狭めてしまうことが無いように、論理の要点だけをもう少し抽象的にまとめ直しておこうと思うのである。 抽象的にとは言っても、難し過ぎることにはならないだろうから安心して欲しい。 厳密な話をするつもりもないので、過度の期待はしないでもらいたい。
     要するに私自身が何となく納得が行かず、もやもやしたものを感じ、それを晴らす為にあちこちで調べまくった結果をまとめておこうというわけである。
    汎関数
     では説明を始めよう。 ある関数 F(x) を使った次のような計算で決められる値 I があるとする。
     ここで F は x の関数として表されているが、それが x で積分されている為、I はもう x の関数ではなくなっている。 これが単なる積分ではなく、定積分であることが大切である。 では I は何の関数かと言えば、関数 F の形を変更することで値が変わるのだから、関数 F(x) の関数だと言えないだろうか。 このような値 I を「汎関数」と呼ぶ。 汎関数は必ずしも積分で表されるものだとは限らないのだが、とりあえずこれが一番分かり易い例であるからこうしておこう。
     I が F の汎関数であることを表すのに I [F] という記法が良く使われる。 普通の関数は ( ) の中に変数を書くが、汎関数の場合は [ ] の中に関数を示す記号を書くのである。
     汎関数というのは、単に関数の中に関数が含まれているような、「合成関数」とはまるで意味が違うことが分かってもらえるだろうか。 大雑把に言えば、関数全体の形によって一つの値が決まるのが汎関数なのである。 いや、この表現には正確ではない部分があるのだが、どこがまずいかに気付く時が来るまでは、この考え方をしておけばいいと思う。 その方が本質部分をすっきり理解できそうだ。
     例えば、こんな面白い見方がある。 現代数学というのは集合論のやり方で議論されることが多く、関数についても、集合を使ったちょっと変わったやり方で定義されていたりする。 つまり、通常の関数というのは、数値の集合の元の一つを、別の集合の元である一つの値へと対応させるルールであるという見方をするのである。 要するに、値の集合が二つあって、一方から他方への写像を与えるのが関数だと言うわけだ。 同様に、関数の集合と値の集合の二つを考え、前者から後者への写像が汎関数だという見方が出来る。 さらには、関数の集合から別の関数の集合へと対応させる写像もあり、これは作用素であるという具合に分類ができるらしい。 作用素というのは、物理では「演算子」と呼ばれており、量子力学で良く出てくるやつだ。 ああ、なるほど、私は数学の知識にはまるで疎いが、そういうことが言えている気がする。
     汎関数と普通の関数の違いは、ただ変数の個数が無限か有限かというだけだという見方も出来る。 なぜなら、関数 F(x) に代入する x の値はどんな値でも無限にあ

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    汎関数微分
    とりあえずは無難な内容をこちらへまとめてみた。
    実は変分法と同じ内容
     ここでは「汎関数微分」を物理から離れて説明しようと思う。 前にも話したが、汎関数微分というのは、第 3 部の「ベルヌーイの問題提起」のところで説明したのと論理的には同じ内容である。 しかしそうは言われても、じっくり考えてみないとどこまでが同じなのかなかなか気付けないものだ。
     普通の微分があらゆる分野のあらゆる場面に使われるように、汎関数微分も色んな場面で利用されている。 最速降下線問題に限って使うような話ではないわけだ。
     特定の具体例に縛られて思考を狭めてしまうことが無いように、論理の要点だけをもう少し抽象的にまとめ直しておこうと思うのである。 抽象的にとは言っても、難し過ぎることにはならないだろうから安心して欲しい。 厳密な話をするつもりもないので、過度の期待はしないでもらいたい。
     要するに私自身が何となく納得が行かず、もやもやしたものを感じ、それを晴らす為にあちこちで調べまくった結果をまとめておこうというわけである。
    汎関数
     では説明を始めよう。 ある関数 F(x) を使った次のような..

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