佛教大学 幾何学概論参考

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    佛教大学幾何学概論

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    集合Xの2つの部分集合族 、
    について、
    を証明せよ。
    2.fを集合Xから集合Yへの全射とする。Xの任意の2つの元x1,x2についてx1~x2をf(x1)=f(x2)と定めるとき、つぎの問いに答えよ。
    (1)~はX上の同値関係であることを証明せよ。
     
    (ⅰ)x~x
    ⇔f(x)=f(x)
    (ⅱ)x1~x2
    ⇔f(x1)=f(x2)
    ⇔f(x2)=f(x1)
    (ⅲ)x1~x2かつx2~x3
    ⇔f(x1)=f(x2)かつf(x2)=f(x3)
    ⇔f(x1)=f(x3)
    ∴x1~x3
    以上(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)より、~はX上の同値関係である。
    (2)|X/~|=|Y|を証明せよ。
    C(a)をaを含む同値類とすると、
    X/~=
       =
       =
    したがって、XからX/~への商写像はfと一致する。さらにfが全射より、f(X)=Yとなり、Yは商集合となる。
    3.無理数全体の集合Pについて、 を証明せよ。
    P=無理数、 Q=有理数、 R=実数とする。
    前提として、|R|>アレフゼロ、|Q|=アレフゼロとする。
    |P|=アレフゼロと仮定すると・・・・※
    P={p1,p2,p3,…}
    Q={q..

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