代数学概論参考その2

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    1.3次正方行列Aについて、Aが可逆でないための必要十分条件を求めよ。

    2. 4次行列Aについて、
    (1)行列式|A|を計算することによってAが可逆行列であることを示せ。

    3.Aを3次正方行列とする。Aを構成する3つの列ベクトルが線型従属ならば、|A|=0である。

    4.Vをベクトル空間とし、x1,x2,…,xn∈VはVの生成系であるとする。これらn個のベクトルx1,x2,…xnから任意の1個を取り除いた残りのn-1個のベクトルはVの生成系をなさないとする。このとき、x1,x2,…,xnは線型独立である。

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    1.3次正方行列Aについて、Aが可逆でないための必要十分条件を求めよ。
    |A|=0ならばAは可逆でなく、逆にAが可逆でなければ|A|=0であるので、
    サラスの方法を用いて、
    |A|= a3+b3+c3-abc-abc-abc
    = a3+b3+c3-3abc
    =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
    =(a+b+c)*1/2(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca)
    =1/2(a+b+c)(a2-2ab +b2+b2-2bc +c2+c2-2ca+ a2)
    =1/2(a+b+c)((a-b)2+(b-c)2+(c-a)2)=0
    a+b+c=0, (a-b)2+(b-c)2+..

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