thermal_noise_1

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    資料紹介

    21 6 9
    1
    1.1 問題
    次の回路の熱雑音について説明せよ。
    Fig.1 RCフィルター
    1.2 解法
    抵抗が持つ熱雑音のモデルを次のように定義する。
    Fig.2抵抗の熱雑音のモデル
    抵抗の持つ熱雑音源を電源 Vn 1 として扱うことにする。次に、
    このモデル Fig.1に当てはめてみると、次のようになる。
    Fig.3抵抗のモデルに熱雑音を考慮した RC フィルター
    今回、出力として扱われるのは、点 6 の位置であるので、この
    位置での熱雑音を計算する。抵抗が二つあるため、熱雑音源(電
    源)が二つある。重ね合わせの理より、Vn 1 のみで考えると、
    I32 = I21 + I24 (

    資料の原本内容

    熱雑音
    ― 熱雑音の算出 ―
    増成伸一
    平成 21 年 6 月 9 日

    1

    熱雑音

    1.1

    問題

    次の回路の熱雑音について説明せよ。

    C1

    Vin

    2

    R2

    1

    (1)

    Vn1 − R1 I32 − α1 I21 = 0

    (2)

    Vn1 − R1 I12 − (R2 + α2 )I24 = 0

    (3)

    Vout1 = α2 I24

    (4)

    6 Vout
    4

    R1

    I32 = I21 + I24

    1
    とする。また、電流についてはサ
    と表すことができる。αi = jωC
    i

    フィックスを各経路として表している。式 (1)〜(3) を整理すると、

    C2



    3







    5

    Fig.1 RC フィルター

    

    1
    R1

    −1
    0

    R1

    R2 + α2

     



    −1  I32   0 
    
     


     

    α1 
     I24 = Vn1 
    

    0

    I21

     

    Vn1



    上式を次のように表す。

    AI = B

    1.2

    解法

    (5)

    I24 のみを求めればよいので、クラメルの式を使う。そのため

    抵抗が持つ熱雑音のモデルを次のように定義する。

    に、まず |A| を求めると

    |A|

    R1
    R1

    =

    1
    R1

    −1
    0

    −1
    α1

    R1

    R2 + α2

    0

    第 1 行で展開すると、

    Vn1
    Fig.2 抵抗の熱雑音のモデル

    |A| = −α1 (R2 + α2 ) − R1 α1 − R1 (R2 + α2 )
    クラメルの式より、

    1
    |A|I24 = R1
    R1

    抵抗の持つ熱雑音源を電源 Vn1 として扱うことにする。次に、
    このモデル Fig.1 に当てはめてみると、次のようになる。

    0
    Vn1
    Vn1

    −1
    α1
    0

    右辺を第 1 行で展開すると

    Vn2

    Vin

    R2

    6 Vout

    2

    1

    4

    C1

    R1

    |A|I24

    = −α1 Vn1

    |A|Vout1

    = −α1 α2 Vn1

    C2
    伝達関数は

    Vn1
    3

    5

    Fig.3 抵抗のモデルに熱雑音を考慮した RC フィルター

    Vout1
    Vn1

    =
    =
    =

    今回、出力として扱われるのは、点 6 の位置であるので、この
    位置での熱雑音を計算する。抵抗が二つあるため、熱雑音源(電
    源)が二つある。重ね合わせの理より、Vn1 のみで考えると、

    =

    −α1 α2
    |A|
    α1 α2
    α1 (R2 + α2 ) + R1 α1 + R1 (R2 + α2 )
    α1 α2
    α1 α2 + α1 R2 + α1 R1 + α2 R1 + R1 R2
    1
    (1/R1 R2 C1 C2 ) + s(1/R1 C1 + 1/R2 C2 + 1/R2 C1 ) + s2

    次に、熱雑音 Vn2 について解くと

    Vout2
    Vn2

    =
    =

    α2
    R 2 + α2
    1/(R2 C2 )
    s + 1/(R2 C2 )

    (6)
    (7)

    したがって、熱雑音の影響の式は

    Vout = Vout1 + Vout2

    (8)

    ここで、回路の定数を下記の T.F.2 のように決める。

    T.F. 1
    T.F. 2

    Table.1 Constant Number
    R1[ohm]
    R2[ohm] C1[uF]
    10000
    27
    0.0226
    10000
    27000
    0.0226

    C2[pF]
    1
    1000

    上記のような定数を設定したときの Vout1 /Vn1 、Vout2 /Vn2 のグ

    20 log ( Vout i / Vni ) [dB]

    ラフを示すと、

    0

    i=1
    i=2

    -100

    -200 1
    10

    102

    103

    104

    Freqency [Hz]

    上記定数のように決めたときに、Vout1 /Vn1 は Vout2 /Vn2 に比べ
    て十分小さいので、熱源 Vn1 は無視することができる。したがっ
    て、熱源 Vn2 のみを考えれば良い。ジョンソン・ノイズの式より

    Vn2 =


    4kT R∆f

    k : ボルツマン定数 1.380 × 10−23 [J/K]
    T : 絶対温度 [K]
    R : 抵抗値 [Ω]
    ∆f : 帯域幅 [Hz]
    定数をそれぞれ T = 300[K]、R = 27[kΩ] とすると

    V
    √ n2
    ∆f

    =



    4kRT


    = 2.114 × 10−8 [V / Hz]

    (9)

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