RC_filter_1

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    資料紹介

    RC
    1
    21 6 9
    1 RC -1-
    1.1 問題
    次の RC フィルターの動作を説明せよ。
    Fig.1 RC lter
    1.2 解法
    各経路について、回路方程式を立てると
    I12 = I23 + I24 (1)
    Vin 1I12 R1I23 = 0 (2)
    Vin 1I12 (R2 + 2)I24 = 0 (3)
    Vout = 2I24 (4)
    と表すことができる。 i =
    1
    j!C i とする。また、電流についてはサ
    フィックスを各経路として表している。式 (1)~(3)を整理すると、
    0
    B
    B
    B
    B
    @
    1 1 1
    1 R1 0
    1 0 R2 + 2
    1
    C
    C
    C
    C

    資料の原本内容

    RC フィルター
    ― 1 次バンドパスフィルター ―
    増成伸一
    平成 21 年 6 月 9 日

    1

    RC フィルター -1-

    1.1

    問題

    クラメルの式より、

    1
    |A|I24 = α1
    α1

    次の RC フィルターの動作を説明せよ。

    C1

    Vin

    R2

    2

    1

    C2
    3

    0
    Vin
    Vin

    右辺を第 1 行で展開すると

    6 Vout

    |A|I24

    = R1 Vin

    |A|α2 I47

    = R1 α2 Vin

    |A|Vout

    = R1 α2 Vin

    4

    R1

    −1
    R1
    0

    5

    バンドパスフィルターの伝達関数は

    Fig.1 RC filter

    Vout
    Vin

    =
    =

    1.2

    解法

    =

    各経路について、回路方程式を立てると

    =

    I12 = I23 + I24

    (1)

    Vin − α1 I12 − R1 I23 = 0

    (2)

    Vin − α1 I12 − (R2 + α2 )I24 = 0

    (3)

    Vout = α2 I24

    (4)

    1
    とする。また、電流についてはサ
    と表すことができる。αi = jωC
    i

    =
    =

    R1 α2
    |A|
    R 1 α2
    R1 R2 + (R1 + R2 )α1 + R1 α2 + α1 α2
    R1 /α1
    1 + (R1 + R2 )/α2 + R1 /α1 + R1 R2 /α1 α2
    sR1 C1
    1 + s((R1 + R2 )C2 + R1 C1 ) + s2 R1 R2 C1 C2
    s/R2 C2
    2 )C2 +R1 C1
    (1/R1 R2 C1 C2 ) + s (R1 +R
    + s2
    R1 R2 C1 C2

    s/R2 C2
    (1/R1 R2 C1 C2 ) + s(1/R1 C1 + 1/R2 C2 + 1/R2 C1 ) + s2

    ここで、回路の定数を下記のように決める。

    フィックスを各経路として表している。式 (1)〜(3) を整理すると、







    1
    α1

    −1
    R1

    −1
    0

    α1

    0

    R2 + α2

    
    
    
    
    
    

     



    T.F. 1
    T.F. 2

    I12   0 
     



    I23 
    = Vin 
    I24

     

    Vin

    伝達関数 1,2 の二つの組み合わせを考えた。両者を比較したグ
    ラフを Fig.2 に示す。

    AI = B

    (5)
    1

    I24 のみを求めればよいので、クラメルの式を使う。そのため
    に、まず |A| を求めると
    1

    −1

    −1

    α1
    α1

    R1
    0

    0
    R2 + α2

    第 1 行で展開すると、

    |A|

    R2=27
    R2=27k

    Level [dB]

    =

    C2[pF]
    1
    1000



    上式を次のように表す。

    |A|

    Table.1 Constant Number
    R1[ohm]
    R2[ohm] C1[uF]
    10000
    27
    0.0226
    10000
    27000
    0.0226

    0.5

    0
    100

    = R1 (R2 + α2 ) + α1 (R2 + α2 ) + α1 R1
    = R1 R2 + R1 α2 + R2 α1 + R1 α1 + α1 α2
    = R1 R2 + (R1 + R2 )α1 + R1 α2 + α1 α2

    101

    102

    103
    104
    Freqency [Hz]

    105

    Fig.2 Transfer Function

    106

    伝達関数 2 の方は、正常にバンドパスフィルターが働いている
    が、伝達関数 1 の方はローパスフィルターが働いていない。これ
    は、定数の違いによって起こっている。具体的には、R2 の抵抗値
    が小さいため、前段のローパスフィルターに影響を与えている。つ
    まり、前段のローパスフィルターの抵抗 R1=10k Ωと 27 Ωが並
    列に繋がっていることで、インピーダンスの整合がカットオフ周
    波数の点から見て取れていない。そのため、Fig.2 のような結果に
    なっている。ちなみに、両者とも抵抗とコンデンサの比が等しい
    ため、カットオフ周波数は同じである。

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