解析学概論S0642第2設題

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    第2設題
    1.次の関数の導関数を求めよ。
     (1)  (2)  (3)
    2.次の(1)と(2)を求めよ。
     (1)      (2)
    3.関数 に関する次の(1)と(2)に答えよ。
     (1)各自然数nに対して、関数 のn次導関数 を求めよ。
     (2)関数 のx=0におけるテイラー展開(よって、マクローリン展開)を求めよ。

    (1)  の両辺の対数をとると
     
    微分して
    ゆえに 
    (2)
    (3) 、  とおくと 
     逆三角関数の微分法より
     
       ここで、  だから
     
     また、  より   だから
     
     ゆえに、
     よって、

    (1)
     (Cは積分定数)
    (2)ロピタ..

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