【2013】【明星大学】【代数学2】合格レポート(1.2単位目)

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    資料紹介

    2012年度の明星大学 教育学部 通信教育課程における、レポート課題の合格レポートです。特に指摘もなく、高評価で1回目で「合格」の評価をいただきました。皆様のお役に立てれば幸いです。

    【課題】
    1.整域、単項イデアル環、ユークリッド環の定義をそれぞれ述べよ。
    2.有理整数環Z は単項イデアル整域であることを示せ。
    3.体K 上の一変数多項式環 ][ xK は単項イデアル整域であることを示せ。
    【課題2】
    1.代数学の基本定理とは何か、代数閉体という言葉を使わずに説明せよ。
    2.K を体とし、 ][)( xKxf  とする。L がK の拡大体で L が 0)( xf の根とする。このとき、
    が 0)( xf の重根となることと 0)(  f となることが同値であることを証明せよ。
    3.任意の代数閉体は無限個の元を含むことを示せ。

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    ● 【過去問】と【合格レポート】 まとめブログ : http://ameblo.jp/meiseitarou/

    資料の原本内容( この資料を購入すると、テキストデータがみえます。 )

    代数学2  1単位目
    1.整域、単項イデアル環、ユークリッド環の定義をそれぞれ述べよ。
    整域
    可換環Rについて、零因子をもたない場合、これを整域という。
    単項イデアル環
    可換環Rについて、イデアルがすべて単項イデアル(ただ1個の元で生成される)である場合、これを単項イデアル環という。
    ユークリッド環
    整域RからZへの写像Чで次の2条件をみたすものが存在するとき、Rはユークリッド環であるという。
    (ⅰ) a(≠0)∈RならばЧ(0)<Ч(a)。
    (ⅱ) a,b∈Rでa≠0ならばb=ar+sとなるr,s∈Rで、
    s=0またはЧ(s)<Ч(a)となるものが存在する。
    2.有理整数環Zは単項イデアル整域であることを示せ。
    MをZの任意のイデアルとする。
    M={0}の場合は、M=(0)なので単項イデアルとなる。
    M≠ {0}の場合
    a∈Mかつa ≠0を満たすa∈Zが存在する。
    すると、MはZのなので、‐ a∈M
    よって、a>0または - a>0なので、Mの元で正の整数が存在する。
    ここで、Mの元で最小の正の整数をmとするとき、M=(m)となることを示す。
    まず、m∈Mなので、(m)⊂M
    また、任..

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