low_pass_filter_1

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    21 1 26
    1 問題
    次の回路の伝達関数を求めよ。また、ゲイン曲線、位相曲線を
    描け。
    Fig.1 2次ローパスフィルター回路
    2 解法
    まず、Fig.1の回路方程式を立てるため、各経路における電流を
    変数 I12, I23(I35), I24(I46) (suffixが各経路をあらわしている)と
    するとキルヒホッフの第一法則、第二法則を用いて
    I12 = I23 + I24 (1)
    Vin R1I12 R2I23
    1
    jωC2
    I23 = 0 (pass : 1235) (2)
    Vin R1I12
    1
    jωC1
    I24 = Vout (pass : 1246) (3)
    また、imaginary shortを用いて
    Vout =
    1
    jωC2
    I23 (4)
    Vin R1I12
    1
    jωC1
    I24 =
    1
    jωC2
    I23 (5)
    と表すことができる。
    式 (1)~(4)を用いて、伝達関数を求めることを考える。最終的
    には、Vout/Vin が抵抗、コンデンサ、周波数の関数で表せれば良
    いので、式(1),(2),(3)を用いて、必要な電流を求める。そして、求
    めた電流を式 (

    資料の原本内容

    回路方程式による伝達関数の導出
    ―2次ローパスフィルター―
    増成伸一
    平成 21 年 1 月 26 日

    1

    問題

    上式を次のように表す。

    AI = B

    次の回路の伝達関数を求めよ。また、ゲイン曲線、位相曲線を

    (6)

    I23 のみを求めればよいので、クラメルの式を使う。そのため

    描け。

    に、まず |A| を求めると

    |A|

    =

    1
    R1

    −1
    1
    R2 + jωC
    2

    −1
    0

    R1

    0

    1
    jωC1

    1
    1
    ここで、 jωC
    = α1 , jωC
    = α2 とすると
    1
    2

    |A|=

    −1

    −1

    R1
    R1

    R2 + α2
    0

    0
    α1

    第 3 列で展開すると、

    Fig.1 2 次ローパスフィルター回路

    |A| = −

    2

    1

    解法

    R1

    R 2 + α2

    R1

    0

    + α1

    1

    −1

    R1

    R2 + α2

    |A| = −(−R1 (R2 + α2 ) + α1 (R2 + α2 + R1 )

    (7)

    まず、Fig.1 の回路方程式を立てるため、各経路における電流を

    = R1 R2 + R1 α2 + α1 R2 + α1 α2 + R1 α1

    (8)

    変数 I12 , I23 (I35 ), I24 (I46 ) (suffix が各経路をあらわしている) と

    = α1 α2 + R1 (α1 + α2 ) + R2 α1 + R1 R2

    (9)

    するとキルヒホッフの第一法則、第二法則を用いて

    クラメルの式より、

    I12 = I23 + I24
    1
    Vin − R1 I12 − R2 I23 −
    I23 = 0
    (pass : 1235)
    jωC2
    1
    Vin − R1 I12 −
    I24 = Vout (pass : 1246)
    jωC1

    1
    |A|I23 = R1
    R1

    (1)
    (2)

    1
    I23
    jωC2
    1
    1
    Vin − R1 I12 −
    I24 =
    I23
    jωC1
    jωC2

    1

    0

    −1

    R1
    R1

    Vin
    Vin − Vout

    0
    α1

    (5)

    と表すことができる。

    0
    α1

    R1

    Vin

    R1

    Vin − Vout

    = α1 Vin − R1 (Vin − Vout ) + R1 Vin

    (10)

    = α1 Vin + R1 Vout

    (11)

    =

    Vin

    0

    Vin − Vout

    α1



    したがって、

    |A|I23 = α1 Vin + R1 Vout

    式 (1)〜(4) を用いて、伝達関数を求めることを考える。最終的
    には、Vout /Vin が抵抗、コンデンサ、周波数の関数で表せれば良
    いので、式 (1),(2),(3) を用いて、必要な電流を求める。そして、求
    めた電流を式 (4) に代入して伝達関数を求める。
    式 (1),(2),(3) を行列式で表すと

    1

    −1

    −1

    R1

    1
    R2 + jωC
    2

    0

    0

    1
    jωC1

    R1

    Vin
    Vin − Vout

    (4)

    Vout =







    −1

    右辺を第 1 行で展開すると

    (3)

    また、imaginary short を用いて



    0

    
    
    
    
    
    

     

    I12  
     

    I23 
    =
    I24

     

    0
    Vin
    Vin − Vout








    (12)

    I23 が導出できたため、式 (4) の両辺に |A| をかけて、式 (12) を
    代入すると、

    Vout

    = α2 I23

    |A|Vout

    = α2 |A|I23

    |A|Vout

    = α2 (α1 Vin + R1 Vout )

    |A|Vout − α2 R1 Vout

    = α1 α2 Vin

    (|A| − α2 R1 )Vout

    = α1 α2 Vin

    |A| を代入すると、

    Ω = ω/ω0 として、右辺を G(Ω) に置き換えると

    (α1 α2 + R1 α1 + R1 α2 + R2 α1 + R1 R2 − R1 α2 )Vout = α1 α2 Vin

    G(Ω) =



    =



    (α1 α2 + R1 α1 + R2 α1 + R1 R2 )Vout = α1 α2 Vin
    伝達関数 Vout /Vin の形にすると

    Vout
    Vin

    α1 α2
    α1 α2 + (R1 + R2 )α1 + R1 R2
    1

    =
    =

    =

    )
    −ωω0
    ϕ(Ω) = tan
    Q(ω02 − ω 2 )
    )
    (
    −1
    −1
    = tan
    Q(ω0 /ω − ω/ω0 )
    (
    )
    −1
    −1
    = tan
    Q(1/Ω − Ω)
    −1

    2 )α1
    1 R2
    1 + (R1α+R
    +R
    α1 α2
    1 α2

    1
    1 + (jω)(R1 + R2 )C2 + (jω)2 R1 R2 C1 C2

    K
    (1 − Ω2 )2 + (Ω/Q)2

    位相 ϕ(Ω) とすると

    α1 , α2 を代入すると、
    Vout
    Vin

    K
    (1 − ω 2 /ω02 )2 + (ω/(ω0 Q))2

    (13)

    (

    2 次のローパスフィルターの一般式に変換すると、s = jω として
    1/(R1 R2 C1 C2 )
    Vout
    = 2
    Vin
    s + (R1 + R2 )/(R1 R2 C1 )s + 1/(R1 R2 C1 C2 )

    (14)

    以下に、上式を用いたゲイン曲線、位相曲線を示す。

    となる。式 (14) より、ω0 , K を求めると、



    ω

    =

    K

    = 1

    1
    R1 R2 C1 C2

    (15)
    (16)

    また、Q の値は、

    ω0
    Q

    R1 + R2
    R1 R2 C1
    R1 R2 C1
    Q = ω0
    R1 + R2
    R1 R2 C1
    1
    = √
    R1 R2 C1 C2 R1 + R2
    =

    したがって、



    Q =

    R1 R2 C1

    (R1 + R2 ) C2

    (17)
    Fig.2 2次ローパスフィルター ゲイン曲線

    ω0 , K, Q を用いて式 (14) を表すと、
    Vout
    Kω02
    = 2
    Vin
    s + ω0 /Qs + ω02
    K:ゲイン ω0 :固有振動数

    (18)

    Q:共振鋭度 (Q 値)

    式 (18) を用いて、ゲイン曲線、位相曲線を描く。まず、s = jω
    を代入して、

    Vout
    Vin
    Vout
    Vin

    =
    =

    Kω02
    2
    −ω + jωω0 /Q + ω02
    Kω02
    2
    2
    ω0 − ω + jωω0 /Q

    両辺の絶対値を取ると

    Vout
    Vin
    Vout
    Vin
    Vout
    Vin

    =
    =
    =

    Kω02
    ω02 − ω 2 + jωω0 /Q
    |Kω02 |
    |ω02 − ω 2 + jωω0 /Q|
    Kω02

    (ω02 − ω 2 )2 + (ωω0 /Q)2

    Fig.3 2次ローパスフィルター 位相曲線

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