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資料紹介
時間に依存しない方程式
単にテクニックだと思って意味を考えないと誤解してしまう。
変数分離
ここではシュレーディンガー方程式を解きやすくするための「変数分離法」と呼ばれるテクニックを紹介する。 計算テクニックではあるが、これを知らないことにはこの先話にならない。
波動関数が座標 x に依存する部分と時間 t に依存する部分の積で表せるとする。
うまい具合にこんな形になっていなかったらどうするんだと思うかもしれない。 みんな初めはそんな心配をするものだ。 もちろんこの形で表せない解もあるだろうが、そういう解はここでは見捨てることにする。 微分方程式を解く時にはよくあることだ。
その見捨てられた解の中に重要な意味を持つものが含まれていたらどうするのかって？ なかなかしつこいな。 そういうものがあればとにかく工夫して探すしかない。 本当に必要なら誰かがもう見つけていることだろう。 それがないと説明できないような現象が見付かっているならなおさらだ。
ここではひとまず上のような形式の「変数分離解」を探すことに専念する。 そのためにこれをシュレーディンガー方程式に代入してやる。
t で偏微分するところでは f ( x ) はただの定数みたいなものだし、 x で偏微分するところでは g ( t ) はただの定数みたいなものなので、
となる。 この両辺を f(x) g(t) で割ってやれば、
となり、面白いことに左辺は t のみに関する部分、右辺は x に関する部分のみとなる。
それらが等号で結ばれているのだから、両辺とも x にも t にも依存しないある値に等しいに違いない。 その定数を E と表すと、
という二つの式に分離することが出来る。 これらの式を整理してやると、
という、以前よりはるかに解きやすそうな形になっているだろう。 これで変数分離は完了だ。
定数 E の意味
ここで導入した定数 E の意味は何だろうか。 これがポテンシャルエネルギー V(x) と同じ次元の量であることは式を観察すればすぐに分かる。 よって E は系のエネルギーを表すと考えておけばいいのではなかろうか。
このことは第１の式
を解いてみればもっとはっきりする。 いかにも簡単そうな形であり、実際すぐ解ける。
この解が振動解であることが初心者にもイメージしやすいように、わざわざオイラーの公式を使って三角関数にまで直してみた。 ところで高校物理の波のところでやったと思うが、三角関数で波を表す時には の部分は角速度 ω の意味を持つ。 すなわち、
だということだ。 これを見覚えのある形に変形してやれば、
である。 前に出てきた粒子性と波動性を結ぶ式だ。 ド・ブロイ波の振動数にプランク定数を掛けたものが、その粒子のエネルギーを表しているのだった。 やはり、E を系のエネルギーと解釈するのは正しいようだ。 振動解を上のような h やら E やらを使った形式で表すとごちゃごちゃして見にくいので、
と書き表すことが多い。 エネルギーが高いほど、位相の変化が激しいことを表している。 波の速度で言えば、速く移動するように見えるということだ。
エネルギー固有値
次に２番目の式に目を移そう。
これは「時間に依存しないシュレーディンガー方程式」と呼ばれている。
これをここで解くことはしない。 V ( x ) を具体的に決めない限りは解けないからだ。 具体的な例について解くことは次回からやるつもりなので、今回は一般論を軽く説明するだけにしておこう
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資料の原本内容( テキストデータ全体をみる )
時間に依存しない方程式
単にテクニックだと思って意味を考えないと誤解してしまう。
変数分離
ここではシュレーディンガー方程式を解きやすくするための「変数分離法」と呼ばれるテクニックを紹介する。 計算テクニックではあるが、これを知らないことにはこの先話にならない。
波動関数が座標 x に依存する部分と時間 t に依存する部分の積で表せるとする。
うまい具合にこんな形になっていなかったらどうするんだと思うかもしれない。 みんな初めはそんな心配をするものだ。 もちろんこの形で表せない解もあるだろうが、そういう解はここでは見捨てることにする。 微分方程式を解く時にはよくあることだ。
その見捨てられた解の中に重要な意味を持つものが含まれていたらどうするのかって？ なかなかしつこいな。 そういうものがあればとにかく工夫して探すしかない。 本当に必要なら誰かがもう見つけていることだろう。 それがないと説明できないような現象が見付かっているならなおさらだ。
ここではひとまず上のような形式の「変数分離解」を探すことに専念する。 そのためにこれをシュレーディンガー方程式に代入してやる。 ..
